高等数学（下）知识点总结（2）

高等数学（下）知识点总结

期末，总结一下高数下的知识点
第八章，第九章见上一篇博客

第八章_空间解析几何和向量代数

第九章_多元函数微分法及其应用

第十章_重积分

这一部分计算方法不细说，学过应该有影响，仅强调关键词（点）

10.1 重积分概念

1、引出：曲顶柱体的体积

1）分割：将曲顶柱体的底$D$划分为$n$小份$\Delta D_i$，然后以$n$个底将曲顶柱体划分为$n$个小曲顶柱体$\Delta V_i$
2）近似：$\forall ({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta D_i$，以该点对应的高作为转化为平顶柱体的高（即此时的柱体体积近似表示为真实体积）
3）求和：$V={\sum }_{i=1}^n\Delta V_i\approx {\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$
4）取极限：$\lambda =\max \{d_i\}$（$d_i$表示分割后底的直径）
$V={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$

2、平面薄板的质量
1）分割
2）近似
3）求和
4）取极限

3、定义：设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$份小区域$\Delta D_1,\Delta D,\cdots \Delta D_n$设$\Delta {\sigma }_k$表示$k$个小区域$\Delta D_k$的面积，在每个$\Delta D_k$上任取一点$({\xi }_k,{\eta }_k)\in \Delta D_k$，做乘积$f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$，并作和${\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$，如果当个小闭区域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y)$闭区域$D$上的二重积分。
记作：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

4、二重积分的几何意义
类比定积分，表示对应曲顶柱体体积等

5、存在性定理
1）若函数在有界闭区域D上连续则函数在D上可积
2）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续

6、二（三）重积分的性质
1）线性性
2）区域可加性
3）保序性
4）估值性
5）中值性
6）对称性（最常用的性质，在计算二重积分前先考虑对称性，但切忌滥用）

10.2二重积分的计算

1）直角坐标
先x后y or 先y后x
2）极坐标
$d\sigma =\rho d\rho d\theta$

10.3三重积分的计算

1）直角坐标
投影法（先一后二） or 截面法（先二后一）【有时不适用，关键时候有用，一般情况不推荐】
2）柱坐标（个人直观感受：直角坐标+极坐标）
【本质上还是先一后二】
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
$z=z$
$dv=\rho d\rho d\theta dz$
3）球坐标（不常用，但对于球体计算十分简单）

$x=rsin\theta cos\phi$
$y=rsin\theta sin\phi$
$z=rcos\theta$
$dv=r^{2}sin\phi d\phi d\theta dr$

注意事项（重积分计算小结）

10.4重积分的应用

1、曲面的面积
$A={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma$

2、物体的质心
$\overline{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\iint }_{D}x\mu d\sigma }{{\iint }_D\mu d\sigma }$(M表示力矩)
$\overline{y}=\frac{M_y}{M}=\frac{{\iint }_{D}y\mu d\sigma }{{\iint }_D\mu d\sigma }$
（形心）：
$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}xd\sigma }{A}$
$\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}yd\sigma }{A}$
形心公式在计算积分是常可以巧妙的起到简化运算的作用，需重视！

3、物体的转动惯量
$I_x={\iint }_D{y}_2\mu d\sigma$
$I_y={\iint }_D{x}_2\mu d\sigma$

$I_x={\iiint }_D(y_2+z^2)\mu dv$
$I_y={\iiint }_D(x_2+z^2)\mu dv$
$I_z={\iiint }_D(y_2+x^2)\mu dv$

4、物体的引力(不常用)
$r=(x-x_0,y-x_0,z-z_0)$
$F={\iiint }_{\Omega }dF=(G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (x-x_0)}{r^3}dv,G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (y-y_0)}{r^3}dv,G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (z-z_0)}{r^3}dv$

5、立体体积
$V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$
$V={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz$

第十一章_几类特殊的积分

本章的重点在计算方法上，对于定义适当参考即可

11.1对弧长的曲线积分

1、概念和性质
1）${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k$
2）存在性条件
$f(x,y,z)$在曲线$\Gamma$上连续，则${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds$一定存在
3）几何意义
${\int }_{\Gamma }ds=l$（$l$为曲线$\Gamma$的长度）
4）曲线积分的性质
线性性 可加性 保序性 估值性 中值性 对称性 与方向无关性

2、计算方法
定理：设$f(x,y)$在曲线弧上有定义且连续，$L$的参数方程为$x=\phi (t),y=\psi (t)$，若$\phi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有一阶连续导数，且$\phi (t{)}^{\prime 2}+\psi (t{)}^{\prime 2}\ne 0$则曲线积分${\int }_{\Gamma }f(x,y)ds$存在，且${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t))\sqrt{\phi (t{)}^{\prime 2}+\psi (t{)}^{\prime 2}}dt$
若$L$由方程$\rho =\rho (x)$或$x=\rho (\theta )cos\theta ,y=\rho (\theta )sin\theta$，则${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\rho (\theta )cos\theta ,\rho (\theta )sin\theta )\sqrt{\rho (\theta {)}^2+\rho (\theta {)}^{\prime 2}}d\theta$
若由方程$y=y(x)(a\le x\le b)$，则${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y(x{)}^{\prime 2}}dx$

11.2对坐标的曲线积分

1、概念和性质
1）
2）存在条件
函数$P(x,y),Q(x,y)$是被积函数，他们在光滑曲线弧$L$上连续时，第二类曲线积分存在
3）物理意义
因该类曲线积分存在方向，可参考力的做功理解
4）性质
线性性 可加性 方向性

2 、计算方法
定理：设$P(x,y),Q(x,y)(x,y)\in L$连续，有向光滑曲线弧$L:x=\varphi (t),y=\psi (t),t:\alpha \to \beta$若$\varphi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$或$[\beta ,\alpha ]$上具有一阶连续导数，且$\phi (t{)}^{\prime 2}+\psi (t{)}^{\prime 2}\ne 0$，则对坐标的曲线积分存在，且${\int }_{L}P(x,y)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t))\varphi (t{)}^{\prime }dt$即，${\int }_{L}F(x,y)dr={\int }_{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t))\varphi (t{)}^{\prime }+{\int }_{\alpha }^{\beta }Q(\varphi (t),\psi (t))\psi (t{)}^{\prime }dt$
$dx=\varphi (t{)}^{\prime }dt$
$dy=\psi (t{)}^{\prime }dt$

3、两类曲线积分的联系
$cos\alpha =\frac{\varphi (t{)}^{\prime }}{\sqrt{\varphi (t{)}^{\prime 2}+\psi (t{)}^{\prime 2}}}$
$cos\beta =\frac{\psi (t{)}^{\prime }}{\sqrt{\varphi (t{)}^{\prime 2}+\psi (t{)}^{\prime 2}}}$
则，${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(Pcos\alpha +Qcos\beta )ds$

11.3格林公式

1、${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{L}Pdx+Qdy$其中，$L$为光滑闭合曲线，$D$为曲线围成的区域（注意包含分母为零的点时，偏导数不连续，该式不成立）

2、若①D是单连通区域②函数P,Q在D内具有一阶连续偏导数，则当$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$在D内恒成立，曲线积分${\int }_{L}Pdx+Qdy$在D内与路径无关

3、以下是三个相互等价的条件
1）D内存在二元函数$u(x,y)$且$du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
2）$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$在D内恒成立，且$u(x,y)={\int }_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdy$
3）${\int }_{L}Pdx+Qdy$在D内与路径无关
注：对于$u(x,y)$的求法，$u(x,y)={\int }_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdy={\int }_{x_0}^{x}Pdx+{\int }_{y_0}^{y}Qdy$

4、对于$0=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$全微分方程而言，$u(x,y)=C$就是其隐式通解

11.4对面积的曲面积分

1、概念和性质
1）

2）性质
线性性 积分曲面可加性 保序性 估值性 积分中值定理 对称性 曲面积分与曲面的侧无关

2、计算方法
${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)ds={\iint }_{\Sigma }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

11.5对坐标的曲面积分

1、概念和性质
1）有向曲面

方向余弦	$cos\alpha$	$cos\beta$	$cos\gamma$	封闭曲面
侧的规定	>0前侧，<0后侧	>0右侧，<0左侧	>0上侧，<0下侧	外侧，内侧

注：实际看的就是法向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值
2）概念


3）存在条件
$R(x,y,z)$在光滑曲面$\Sigma$上连续
4）性质
线性性 可加性 相反侧

2、计算方法
${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy={\iint }_{D{}_x{}_y}R(x,y,z(x,y))dxdy$
注意：曲面的侧

3、两类曲面积分的关系
${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(Pcos\alpha +Q\cos \beta +Rcos\gamma )ds$

4、综合计算公式
${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=+/-{\iint }_D{}_x{}_y[P(-z_x)+Q(-z_y)+R]dxdy$

11.6高斯公司&斯托克斯公式

1、高斯公式
设空间区域$\Omega$由闭曲面$\Sigma$所围成，$\Sigma$方向取外侧，函数P,Q,R在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则${\iiint }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )ds$其中$cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma$都是闭曲面在点$(x,y,z)$处的法向量的方向余弦
注：偏导数务必连续

2、斯托克斯公式
（右手关系）
设光滑曲面$\Sigma$的边界$\Gamma$是分段光滑曲线，$\Sigma$的侧与$\Gamma$复合右手法则，P,Q,R在包含$\Sigma$在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有${\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz$

3、通量 散度 环流量 旋度
通量和散度：设有向量场$A(x,y,z)=Pi+Qj+Rk$，其中P,Q,R具有连续一阶偏导数，$\Sigma$是场内的一片有向曲面，其单位法向量$n$，则称${\iint }_{\Sigma }Ands$为向量场$A$通过有向曲面$\Sigma$的通量，在场中$M(x,y,z)$处，$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$记作div $A$称为向量场$A$在点$M$的散度
环流量和旋度： ${\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\Gamma }A\tau ds$称为环流量，$((\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}),(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}),(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}))$记作rot $A$称为向量场$A$的旋度
注意：对于曲面的第二类积分要充分理解方向性和其投影，加强对dxdy的理解

第十二章_无穷级数

12.1常数项级数

1、定义
1）给定数列$\{U_n\}$，有该数列构成的表达式$u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$，称为常数项级数，简称级数，记为${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，$u_1$为首项，$u_n$为一般项。
有限和式$S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n$称为${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$的前n项和
2）如果级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$的部分和数列{$S_n$}有极限S，即${\lim }_{n\to \infty }=S$，则称无穷级数收敛，并称级数的和胃S，记为$s = u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，如果级数不收敛，则$\{S_n\}$没有极限。
当级数收敛时，称差值$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$为级数的余项，${\lim }_{n\to \infty }{r}_n=0$

2、收敛级数的基本性质
1）若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛于S，即$s = ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，则各项乘以c所得的级数${\sum }_{n=1}^{\infty }c{u}_n=cs$也收敛
2）设有两个收敛级数$s={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n，\sigma ={\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\pm v_n$也收敛，其和为$s\pm \sigma$
推论1：若两个级数中一个收敛一个发散，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\pm v_n$必发散
推论2：若两个级数都发散，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\pm v_n$不一定收敛，也不一定发散
性质3：在级数前面加上后去掉有限项，不会影响级数的敛散性
性质4：收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和
推论：若能加括弧后的级数发散，则原级数必发散
性质5：设收敛级数$s={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，则必要${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$
推论：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散

3、审敛法（正项级数）
正项级数收敛$\to$部分和序列有界
1）比较审敛法
对于正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$，$u_n<v_n$，则①若${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，②若${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散
2）比较审敛法的极限形式
对于正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$，满足${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l$,则：
①当$0<l<\infty$时，两个级数的敛散性相同
②当$l=0$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$也收敛
③当$l=\infty$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$也发散
3）比值审敛法
设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，且${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$
①当$\rho <1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛
②当$\rho =1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$敛散性不确定
③当$\rho >1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散
4）根值审敛法
设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，且${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho$则：
①当$\rho <1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛
②当$\rho =1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$敛散性不确定
③当$\rho >1$时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散
5）极限审敛法（与比值审敛法无异）

12.2交错级数

1、定义
设$u_n>0$，$n=1,2,3\cdots$，级数$u_1-u_2+u_3\cdots +(-1{)}^n{u}_n+$称为交错级数

2、Leibnitz判别法
若交错级数满足：①$u_n\ge u_{n+1}$②${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$收敛，且其和$s<u1$，其余项满足$|r_n|\le u_{n+1}$

3、绝对收敛于条件收敛
通俗易懂的讲，绝对收敛指级数的绝对值收敛，条件收敛指级数的绝对值不收敛，但原级数收敛。另外，如果是根据根值法或比值法判定出级数的绝对值发散，则原级数一定发散

12.3幂级数

几个小概念：函数项级数，收敛域，发散域，级数的和函数，前n项和，余项

1、定义
形如：${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$的函数项级数称为幂级数，其中数列$a_n$称为幂级数的性质（一般$x_0=0$）

2、性质
定理1：若幂级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$x_0=x$收敛，则对满足不等式$|x|<|x_0|$的一切x幂级数都绝对收敛，反之，对$x=x_0$时发散，$|x|>|x_0|$的一切x幂级数都发散
定理2：若${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$的系数满足${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，则
①当$\rho \ne 0$时，$R=\frac{1}{\rho }$
②当$\rho =0$时，$R=\infty$
③当$\rho =\infty$时，$R=0$
注：幂级数的收敛半径满足线性性和叠加性
定理4：幂级数的收敛半径R>0,则其和函数s（x）在收敛域内连续，且可逐项求导，逐项积分，收敛半径不变（应用于求幂级数的和函数）

3、幂级数的展开式
直接展开法

间接展开法

4、近似计算（了解即可）
凑展开式，约束余项

12.4傅里叶级数

1、三角级数
形如：$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi t}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi t}{l})$的级数称为三角级数，（这里原始式子即使一般形式，下面的简化是对周期为$2\pi$的形式）令$\frac{\pi t}{l}=x$则$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
★这里对$cosx,sinx,cos2x,sin2x\cdots$其中两个不同函数的乘积在$[-\pi ,\pi ]$上积分等于零

2、展开为傅里叶级数
$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
则其中$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx$，$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx$
注：对于一般形式
$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx$
$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx$

3、收敛定理
$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$ = f(x)(x为连续点) or $\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}$(x为间断点)

4、周期延拓
5、余弦级数和正弦级数
奇延拓/偶延拓