信号与系统（一）：响应的分类和联系（通解、特解，暂态、稳态，零输入、零状态）、稳定性、传递函数

说明：x(t)在数学上表示一个关于时间的函数，在电路工程上表示一个随时间变化的信号。所以，在本文中，函数和信号是一个概念。

一、（齐次）通解、（非齐次）特解

线性时不变电路，是一种线性时不变系统，其数学模型是线性常微分方程。对于任何线性时不变电路，可根据基尔霍夫定律KCL、KVL和元件V-I约束特性VCR，建立线性常系数微分方程组。通过消元可以得到关于电路中任何信号的微分方程及初值条件：
        
    a(n)* d^ny(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy(t)/dt + a0
  = b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0

  y^(n-1)(0+) = Y(n-1)
   .
   .
   .
  y'(0+)          = Y1
  y (0+)          = Y0

建立齐次微分方程对应的特征方程，可得通解，
根据x(t)的形式，可得特解。故可得全解：

y(t) = c(n)e^(s(n)t) + ... + c(1)e^(s(1)t) + f(x(t))
           ------------------------------------            -------
                 （齐次）通解                 （非齐次） 特解

二、暂态（响应）、稳态（响应）

其中，通解为指数函数，实际应用中都要求是衰减函数，当t趋于无穷大时，通解项趋于0，意味着系统稳定，剩下特解项，代表系统最终稳定的状态。故根据物理意义：
     通解 称为  暂态
     特解 称为  稳态

三、零输入（响应）、零状态（响应）

根据n个初态条件建立n个线性方程，确定通解系数是关于n个初值、特解在0+时刻函数值的函数

  c(n:1) = F(Y(n-1:0),f(x(0+)))   

由此，可将全解重新拆分成：
  与Y(n-1:0)相关的项       （零输入响应，与x(t)无关，只含指数项）
  与Y(n-1:0)无关相关的项（零状态响应，与初态无关，可能含指数项）

这种分解方式的物理意义是，初态可是一种内部激励、内部能量源。输入是一种外部激励、外部能量源。一个系统要运行，必须有能量。如果外部激励、内部初态都为0，那么系统就失去能量源，所有信号不会发生变化，保持静止，即为0。

上面的分析描述，都是基于假设x(t)的特解函数是可以解析求解的。对于任意输入信号x(t)，通常是不可通过解析方式求出其特解函数的。但根据线性常系数微分方程的可加性，依然可以证明：
      任意输入信号x(t)的全响应可分解为零输入响应、零状态响应。

证明方法如下：
假设y1(t)是零输入响应（由求解特征方程、待定系数法可求出零输入响应，证明了其存在性；当然，也可借由拉普拉斯变换大法证明），即满足微分方程及初值条件：
     a(n)* d^ny1(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy1(t)/dt + a0
  = 0

  y1^(n-1)(0+) = Y(n-1)
   .
   .
   .
  y1'(0+)          = Y1
  y1 (0+)          = Y0

y2(t)是零状态响应（由拉普拉斯变换可求出零状态响应，证明了其存在性），即满足微分方程及初值条件：
   a(n)* d^ny2(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy2(t)/dt + a0
  = b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0

  y2^(n-1)(0+) = 0
   .
   .
   .
  y2'(0+)          = 0
  y2 (0+)          = 0

令y(t) = y1(t) + y2(t)，y(t)必然满足原微分方程及初值条件：
    a(n)* d^ny(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy(t)/dt + a0
  = b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0

  y^(n-1)(0+) = Y(n-1)
   .
   .
   .
  y'(0+)          = Y1
  y (0+)          = Y0

根据线性常系数微分方程解的唯一性，y(t)就是该微分方程的唯一解。即得证，y(t)可分解成零输入响应、零状态响应。

零输入响应可能包含指数项，这个结论依然成立，因为它不依赖于输入信号x(t)。但我们无法证明零状态响应是否可能包含指数项。这是不可能的，因为x(t)无法解析，怎能保证零状态响应可解析呢。我们必须有一种非解析的方法来求得零状态响应，需要用到刚才提到的拉普拉斯变换，先得到传递函数H(s)，再得到零状态响应

   y(t) = x(t) * h(t) 。

四、稳定性、传递函数

系统稳定要求全响应稳定，要求零输入响应、零状态响应都稳定。

首先考虑零输入响应稳定性。零输入响应是微分方程的通解。如果遍历初态空间，零输入响应必然遍历通解空间，即所有指数项都有可能出现在零输入响应中。所以，为了使零输入响应在所有条件下稳定，必须要求特征方程的所有根的实部小于0。

再来考虑零状态响应稳定性。关于零状态响应稳定性，有一个定义叫BIBO（有限输入导致有限输出）。加入BI这个前提显然是必要的，如果输入无限，根据叠加原理，线性系统的输出要么为0，要么无限。在线性工作条件下，输出变得无限，系统就会工作在线性区以外，通常意味着系统崩溃）。当然，BI也是可以满足的，实际信号都是有限
的。

隐藏一个问题：即使系统是数学上BIBO的，但这个BO的界限在数学上可以是很大很大，超过实际系统正常工作允许的BO。所以，数学上BIBO的稳定，是实际电路BIBO稳定的必要而不充分条件。实际系统一定有一个BI，这个BI不是由稳定性决定的，而是由电路的其它性能决定的，比如运算放大器的有输入范围限制。

要满足BIBO，x(t) * h(t) = y(t)有限，就要求h(t)是有限的，就要求H(s)的极点的实部小于0，即H(s)分母多项式的根的实部小于0。对消元后的微分方程做拉普拉斯变换可知，H(s)的分母多项式就是特征方程多项式。所以，为了保证零状态响应BIBO稳定，也要求特征方程的所有根的实部小于0。

五、稳定性 —— 深入

1）系统内所有信号的稳定性
前面我们通过讨论某个输出信号y(t)的稳定性，证明了系统的稳定性。但这是不够严谨的，因为我们并没证明系统中所有信号的稳定性。系统中所有节点的响应信号（非源性支路电流、支路电压）的传递函数的极点都是一样的吗？我们可以在求解系统响应的更早阶段使用拉普拉斯变换，证明这一点。

  1）对电路系统建立线性常系数微分方程组
  2）使用拉普拉斯变换，得到线性代数方程组，
  3）对分项的分母中含有s的VCR方程，等号两边同时乘以s，消去分母中出现的s
  4）使用克莱默法则，求解各未知变量（各支路电流、支路电压）
       可知，各信号的传递函数H(s)的分母都为代数方程系数矩阵组成的行列式，是s的n次多项式(n为电路中L/C的总个数，其中并联电容、串联电感被合并，方程组中不会出现相同的支路电压微分、支路电流的微分)，H(s)的分子多项式、分母多项式不必约掉可能存在的公因式。
 
      该代数方程系数矩阵，由电路拓扑结构决定，而与输入信号、初态无关。

2）稳定性的数学理论定义、物理客观需求

     数学理论定义
       李雅普诺夫稳定性定义
     
     物理客观需求
       对物理世界使用微分方程分析时，需要对初态进行测量，这存在两个问题：
            1）初态即使可以控制、测量，但不可能准确
            2）初态可能无法控制、测量

       其次，我们对系统做线性近似，与系统实际特性之间存在误差，故存在另外一个问题
           3）线性近似方程的稳定，是否保证真实系统的稳态
     
       对于第一个问题，要求微分方程/系统因初态误差而导致解/响应误差最终(t->∞)是收敛的。
       H(s)的极点都在左半平面，可以保证这一点。

       对于第二个问题，要求微分方程/系统在不同初态下的解/响应最终(t->∞)都是收敛的。
       H(s)的极点都在左半平面，可以保证这一点。

       前个问题的证明都不难，由前述知识容易得出。此外注意到，第二个问题能够保证第一个问题：所有
       响应都收敛的话，相互之间的偏差也是收敛的。
 
       对于第三个问题，证明不是那么容易，但幸运的是，数学上可以证明，对系统线性近似而建立的微分方
       程的稳定性，可以保证真实系统的稳定性。

综上，线性时不变系统的稳定性的条件虽然简单，但其意义却是相当丰富的。

六、结束语

《信号与系统》这门课，有人说简单，有人说难。如果只要求会做题，考高分也很容易，但可能考完试没多久就忘得一干二净。《信号与系统》难在理解这些分析方法的数学基础、物理意义、历史渊源、哲学方法。