信号与系统（二）：拉普拉斯变换的意义：谈H(s)、h(t)、δ(t)

一、引言

在《信号与系统》或者《自动控制理论》中，我们分析线性时不变系统，本质是求解线性常系数微分方程。我们遇到各种变换，傅里叶、拉普拉斯，他们的意义主要分为数学意义、物理意义。在工程中，我们关心更多的是物理意义。但实际上，如果不了解数学意义，物理意义会显得很突然、很不严谨。我们应该将两者结合起来，这有助于我们理解这样做的目的，也符合人类对自然的认知规律。

对于傅里叶级数、傅里叶变换，其数学意义、物理意义比较容易理解，因为频率这个概念，非常容易理解，它广泛存在于人们的日常生活中。然而，拉普拉斯变换的物理意义就不是那么自然，并且为了理解它，我们还需要克服一些数学上的障碍，比如δ(t)函数的意义。我本人也曾经在这个问题上迷惑了很长时间，后来终于将隐藏在其后面的物理意义、数学意义融汇贯通。在探寻答案的过程中，我试图假设自己就是当初的科学家，如果面对当初的问题，如何有逻辑地、一层一层解开谜团。我认为，解法并不重要，重要的是创造的方法、思想和哲学。虽然尽我所能，试图还原这个认知过程，但有些地方仍然显得像是“事后诸葛亮”。我还原的这个过程，不一定是真实的历史过程，但已尽量遵循事理逻辑、认知规律和我所知的相关历史。闲话不再多说，下面进入正题。

二、拉普拉斯变换的意义

拉普拉斯变换的一个重要意义在于将求解线性常系数微分方程，转化为解代数方程（虽然要引入复数），大大简化计算。它的另一个意义在于，揭示了线性时不变系统的本质：系统传输函数H(s)、系统冲击响应h(t)，使我们能够不必逐个分析所有输入信号x(t)、所有初态下的响应y(t)是什么样的，就能很方便的分析系统特性，如稳定性。

让我们先看看拉普拉斯变换是如何简化运算的：

情形1）
如果输入信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)是容易获得的，且Y(s)=X(s)H(s)的拉普拉斯逆变换y(t)也是容易获得的，那么求解系统微分方程将十分简便。如果x(t)、Y(s)是常用拉普拉斯变换对的组合，我们通过查表就能完成求解系统微分方程。真是很方便啊。信号与系统的考题很多都是这种，主要是让大家能通过手算体验到拉普拉斯变换的神奇威力啊。

情形2）
即使输入信号x(t)的拉普拉斯变换、Y(s)的拉普拉斯逆变换不容易获得，拉普拉斯变换也是很有威力的。因为，通常H(s)的逆变换h(t)是容易获得的，然后我们根据公式y(t)=x(t)*h(t)（注意，这个公式的正确性由拉普拉斯变换、拉普拉斯逆变换的关系保证），即可得到出y(t)。这种方法的好处是，我们无需依赖于x(t)的拉普拉斯变换难易程度，仅凭借容易获得的H(s)的逆变换h(t)，就能求出响应信号y(t)。

显然在两种计算过程中，我们都不需要关心H(s)、h(t)的物理意义，也不需要引入什么奇怪的δ(t)信号，只需傻傻地套用拉普拉斯变换对表和公式y(t)=x(t)*h(t)，即可获得响应信号y(t)，一切都是这么自然、这么神奇。

 

如果是数学家，可能认为问题已经解决了：找到一种求解微分方程的好办法了，能算，管用，不就完了么。好奇的人会问数学家，为什么这种方法能这么简便。数学家会说，先把输入信号拆成指数信号的线性组合，而指数信号在微分作用下相当于乘上一个系数，于是将微分运算转化为代数运算，快速得到每个指数信号通过系统后的输出信号，再把这些输出指数信号累积起来就是线性是不变系统的总输出，所以这么简便。说完这些，数学家可能就匆匆走了。

但如果是物理学家，往往会想，既然这些微分方程的确能描述物理世界，与实验测试吻合，那么这种解法一定蕴含什么物理意义。也就是说，数学家想到了某种解法，物理学家会赋予其物理意义，这种物理物理意义便于理解规律，也便于指引新的研究方向。历史告诉我们，还可能存在相反的情况，物理学家想到了（或者猜到了）物理意义，然后数学家（可能就是物理学家自己）根据这个物理意义想到了一种数学解法。这就是数学、物理相互推动的现象。话说回来，物理学家所关心的拉普拉斯变换的物理意义到底是什么呢？解释拉普拉斯变换的物理意义，其实就是解释X(s)、Y(s)、H(s)、h(t)的物理意义。

  1）X(s)、Y(s)，难以称得上有物理意义
     前面数学家已经说了，我们试图将x(t)拆分成指数信号的线性组合，X(s)就是这种组合中每个指数分量的系数。Y(s)同理。那每个指数分量是什么意义呢？它代表一种周期性的增长、衰减、震荡。周期信号是一种震荡，直流信号也可看成一种震荡，只不过振幅为0罢了。其它信号在时间无限大时，要么趋于0，要么趋于有限，要么趋于无限，有的可以找到一群合适指数信号为基，逼近该信号。这种指数信号，我们很难找到其物理意义。网上有人说是一种幅度呈实指数变化的螺旋运动，这不过是将傅里叶变换中的指数信号e^jwt的含义搬移改造罢了。可惜，圆周运动的物理图像，人们见得多，容易接受，而这种幅度呈实指数变化的螺旋运动，很难找到现实场景对应。所以，说拉普拉斯变换的指数基，具有物理意义，是比较牵强的。
    
  2）H(s)，勉强称得上有物理意义
     H(s)的数学意义是系统对输入信号X(t)的每个指数基的增益。由上一点分析，X(s)、Y(s)都难以称得上有物理意义，那么作为它们比值的H(s)，也就很难称得上有物理意义。也有观点认为，H(s)蕴含了系统的极点，系统微分方程的通解，系统的本征频率，所以H(s)的物理意义是蕴含本征频率，我觉得，可以这么说，稍有些勉强。
  
  3）h(t)的物理意义是什么？
     既然h(t)是时间的函数，那它有没有可能是某个输入信号的响应？即是否存在一个输入信号x(t)，使得：
         y(t) = h(t) * x(t) = h(t)  对于任意h(t)都成立
     等价于：是否存在输入信号x(t)，其输出信号满足
         Y(s) = H(s)X(s) = H(s)
     等价于：
         X(s) = 1
    
     脉冲信号    
      PΔ(t) = 1/Δ (0 < t < Δ)
              0   (t > Δ)    
              
     就几乎是这样一个信号，当Δ -> 0时，
       h(t) * PΔ(t) -> h(t)  
       Lapalace (PΔ(t)) -> 1
    
     脉冲信号的极限即为δ(t)，δ(t)本质代表PΔ(t)的极限：
       我们说：h(t)*δ(t) = h(t)
       本质上是说：当Δ -> 0时，h(t) * PΔ(t) -> h(t)
       （对于一个极短的脉冲，其响应收敛于h(t)。其实，只要脉冲短，不论什么形状，响应都收敛于h(t)。
         即：δ(t)的本质是一个极短的脉冲，短到h(t)在此时间内几乎保持不变（δ(t)成为一个理想的系统测试信号），
         也可以说短到x(t)在此时间内几乎保持不变（δ(t)成为一个理想的采样信号，后面我们将很快看到这一点））
       
       我们说：δ(s) = 1
       本质上是说：当Δ -> 0时，PΔ(s) = 1（δ(t)成为一个理想的全频谱等幅信号）

   4）再次探寻δ(t)       
在上面对拉普拉斯变换物理意义的探寻过程中，δ(t)信号被引入。其实，δ(t)信号还有另外一种引入方式。该方式更能说明δ(t)作为
时域筛选信号（采样信号）的本质。
      除了将输入信号按指数基分解，还可以按时间轴分解（微分）：
         x(t) = ∑(x(kΔ)PΔ(t-kΔ)Δ
        
      若PΔ(t)的系统响应为hΔ(t)，根据线性时不变性，x(t)响应为
         y(t) = ∑(x(kΔ)hΔ(t-kΔ)Δ
      
      当Δ -> 0时，求和变为积分
         x(t) = x(t) * PΔ(t) = x(t) * δ(t)
         y(t) = x(t) * hΔ(t) = x(t) * h(t)
        
      我们说：x(t) = x(t) * δ(t)
      本质上是说：当Δ -> 0时，x(t) * PΔ(t) -> x(t)
      （δ(t)成为一个理想的采样信号）
      
      我们说：y(t) = x(t) * h(t)
      本质是说：x(t)可以分解成无数个脉冲信号的线性组合，所以y(t)可以分解成无数个脉冲响应的线性组合
      

三、结束语

当然，拉普拉斯变换得到传递函数H(s)，在系统稳定性分析中还有很多技巧和应用，是自动控制理论中十分重要的部分。但由于本文初衷是阐述意义、追溯历史，而非强调计算分析技巧，故不涉及相关内容。