石子合并 动态规划（直线型）

问题描述
　　在一条直线上有n堆石子，每堆有一定的数量，每次可以将两堆相邻的石子合并，合并后放在两堆的中间位置，合并的费用为两堆石子的总数。求把所有石子合并成一堆的最小花费。
输入格式
　　输入第一行包含一个整数n，表示石子的堆数。
　　接下来一行，包含n个整数，按顺序给出每堆石子的大小 。
输出格式
　　输出一个整数，表示合并的最小花费。
样例输入
5
1 2 3 4 5
样例输出
33          //3+6+9+15=33  


以下为解题经历：
     第一反应，选择用贪心的思想去解题，因为题中提到只能合并相邻的石子，所以作一些改变，每次选择最小的石子堆，比较其左右两侧的石子，选择与较小的那个合并。
     A[0..len]   取 Min(A)  将A[i] 与 Min(A[i+1],A[i-1]) 合并
     其实此处，带着一些侥幸心理，隐隐觉得不会正确，因为在两两合并的过程中，上一次的合并结果会对下一次的合并造成影响，每一次并非都独立无关。

     假如5堆石子，分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心，合并的过程如下：
      
          7   6   5   7    100  
   　   7   11.     7    100
    　  18.         7    100 
          25.              100

        总得分＝11＋18＋25+125＝179

       •另一种合并方案
   
  　   7    6    5    7    100    
        13.       5     7   100 
        13       12.        100  
        25.                   100  

        总得分＝13＋12＋25+125＝175
————————————————————————————————————
      第二次解题，由于牵扯到不同情况下的不同解，第二反应是符合动态规划的思想，利用一次次的合并过程去更新所得的结果，以便下一次合并使用。
      首先，列出石子 进行观察。A[i]为该堆中的石子个数


     1.□  2.□□ 3.□□□ 4.□□□□ 5.□□□□□


     1.若石子有1堆，则无需合并，花费为0
     2.若石子有2堆，则合并二者，花费为A[0]+A[1]
     3.若石子有3堆，则有2种情况，①先合并A[0]、A[1]再与A[2]合并 ②先合并A[1]、A[2]再与A[0]合并
     4.若石子有4堆，则有3种情况，...............
     总之，在n堆中，有n-1种情况，而最后一次合并总是以某两堆合成一堆为结果。
     即可将n堆划分成A[0...k] 与 A[k+1...n-1]合并， 
     而A[0...k] 与 A[k+1...n-1]已是最优花费，由各自向下分解所得。
     （递归思想，但由于此次是二维的，即符合动态规划）
————————————————————————————————————
     假设有5堆石子，则A[0...k] 与 A[k+1...n-1]的长度堆数可能为 1、4   2、3   3、2   4、1
     只要其各自已为最优花费。


     以上为递推向下的逻辑，在动态规划是由下而上，即5堆石子 需要长度为 2 3 4 的石子最优花费

     如图。

         

     然后开始分析算法过程，首先，最外层循环 控制石子堆长度（len=2 to n）,因为只有1堆时无需下续步骤
     接着第二层循环，确定石子堆的起始堆号（i=0 to n-len）即为图中的下划线个数。
     继续分析，发现还需要一层循环控制更新 A[0...k] 与 A[k+1...n-1]的花费price (k=i to j-1)
     确定无遗漏后，开始编写代码过程，如下。
     （注意，花费是每两两合并完的石子数依次相加，所以最后一次合并为合并堆数的总石子量）
——————————————————————————————————————————————、
     由sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子全部合并的总石子量。dp[i][j]为第i堆石子到第j堆合并的花费（随着动态规划的进行，会越来越越接近最优花费）dp[i][i]=0 （本身无需合并，不需花费）
     即若仅两堆石子合并 则dp[i][j]=dp[i][i]+dp[j][j]+sum[i][j] = 0+0+sum[i][j]

     以下用一维sum[n]进行存储，sum[i][j]=sum[j]-sum[i-1] (i!=0),  sum[i][j]=sum[j] (i==0)


——————————————————————————————————————————————
完整代码如下：(时间限制：2.0s   内存限制：256.0MB 情况下只能得90分，一组运行超时)

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class 合并石子 {

public static void mergeStone(int[][] dp,int[] sum) {
int j=0,temp=0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
dp[i][i]=0;
}
for (int len  = 2; len  <= dp.length; len ++) { //划分的石子堆数

for (int i = 0; i < dp.length-len+1; i++) {
j=i+len-1;

for (int k = i; k < j; k++) {
temp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-(i==0?0:sum[i-1]);
dp[i][j]=Math.min(dp[i][j], temp);
  //System.out.println(i+","+j+" : "+dp[i][j]);
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {

Scanner scam=new Scanner(System.in);
int n=scam.nextInt();
int[] sum=new int[n];
int[][] dp=new int[n][n];
for (int i = 0; i < sum.length; i++) {
if(i==0)
sum[i]=scam.nextInt();
else
sum[i]=sum[i-1]+scam.nextInt();
}
mergeStone(dp,sum);
System.out.println(dp[0][n-1]);
}
}

————————————————————————