[转载]MIMO技术杂谈（四）：OFDM那些事（未完待续）
OFDM那些事
在动笔之前，笔者百度了一下OFDM的定义。在百度百科中，找到了如下描述：
“OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交频分复用技术，其主要思想是：将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道之间的相互干扰 ICI 。每个子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信道上的可以看成平坦性衰落，从而可以消除符号间干扰。而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。”
嗯，这个定义写的很全面，这么好的材料，不放到毕设论文的背景介绍中，实在是太可惜了。其实OFDM的原理就是这样，楼主的讲解就到此结束吧，谢谢大家~
哎哟，哪里丢来的臭鸡蛋？还有板砖！*&%……%￥#@@！…
呵呵，跟大家开个玩笑。其实读了上面的描述后，我们一定还有很多的疑问：什么叫“正交子信道”？怎么做才能“把高速数据信号转换成并行的低速子数据流”？为什么“子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽时，可以消除符号间干扰”？而“相关带宽”、“符号间干扰”又是什么呢？
在接下来的几篇文章中，我们就来一起探究这些问题。今天，我们先做个“热身”。既然OFDM可以消除符号间干扰（ISI，Inter-Symbol Interference），我们就来看看什么是符号间干扰。
想象下面的场景：一个男孩和一个女孩隔山相望。男孩要向女孩表白，喊出那摄人心魄的三个字。在他们远处，有另一座大山，能够将他们的喊话形成回声。就是说，男孩喊出的话，会经过两条路径传到女孩的耳朵里，一个原声，一个回声。当女孩听到男孩喊出的“我”字的时候，“我”字的回音还在路上。然而下一时刻，当“爱”字的原音到达女孩那里时，“我”字的回音恰好也到了。两个声音同时到达，混在了一起。我们假设“我”和“爱”两个音混在一起会形成“讨”字的音（这个假设实在是太坏了）。所以这一时刻，女孩听到的是“讨”字。同样，再下一时刻，女孩会听到“你”字的原音和“爱”字的回音混叠在一起的声音，假设这次她听到的是“厌”字。最后，女孩听到 了“你”字的回音，转身就走了。
图1 “回音”的例子
好好的一句“我爱你”却因为回声的存在，被活活“翻译”成了“我讨厌你”，让相爱变成了分手。在现实无线通信中，“符号间干扰”就扮演着“回声”的角色。在发送端和接收端之间，常常存在着不止一处的反射物，发出的信号经过这些物体的反射、折射，会经过不同的路径到达接收端，也就是我们常说的“多径传播”。路径不同，传播的距离自然不同，信号到达接收端的时间也就不尽相同。如果这一时刻发出的符号因为多径，延迟到了下一时刻才到达，就会与下一时刻的符号发生混叠，造成符号无法正确解出，这就是“符号间干扰”，也叫“码间串扰”。
通过上面简单的例子，我们已经感性的了解了“回声”干扰“原声”的成因。而且也能直观的感觉到，要想避免两个声音的干扰，男孩只要放慢喊话的速度就好了，等一个字的所有回声都传递到了女孩耳朵里，再喊出第二个。这样一来，女孩听到的就是“我，我…，爱，爱…，你，你…”，无非是多听了几个重复的字而已，不会因为出现字和字之间的干扰而造成误会。但是，我们回看百科中OFDM的定义，却发现它是这么写的：“当信号带宽小于信道的相关带宽时，可以消除符号间干扰”。我们已经找到了从时间上避免符号间干扰的方法，那么，它和“信号带宽”，“相关带宽”之间又是什么关系呢？
不要忘了带宽的单位是赫兹（Hz），而赫兹代表的数学含义是秒分之一（1/s）,就是一秒钟发生的次数。所以当我们说一个信号的带宽是10Hz，从离散域来看，可以理解为每秒有10个采样点，换句话说，每隔0.1秒，就会到来一个采样符号。现在我们把带宽的意义转换到时间域，再来解释码间串扰发生的条件，就好理解许多。既然每隔0.1秒就会到来一个符号，那么如果多径造成的最大时延小于这0.1秒，自然不会对下一个符号形成干扰；但如果多径时延大于了0.1秒，就会引起码间串扰。码间串扰发生的条件，就和多径时延对应上了。而这0.1秒，就是码间串扰发生的临界条件。
图2 “码间串扰”的形成条件
我们不妨假设时延恰好在符号发出0.1秒后到达，这样，时延发生的频率，也是10Hz，而“时延的频率（准确的说是最大时延的频率）”就是“相关带宽”。显而易见，当“相关带宽”等于“信号带宽”时，恰好会发生码间串扰。如果时延很短，比如0.01秒后就到达，对应的“相关带宽”是100Hz，大于“信号带宽”，码间串扰就不会发生；如果时延很长，在符号发出后0.2秒才到达，“相关带宽”是5Hz，小于“信号带宽”，码间串扰将不可避免。
图3 具有多径时延的传播环境
有了这些基本概念，我们重新考虑一下之前找到的从时域上规避码间串扰的方法。依然假设信号的带宽是10Hz，这次假设有两个反射体，分别将信号延时0.1秒和0.2秒。我们可以设计这样的发送策略，即每隔0.2秒才发出一个新符号，这样，前一个符号就不会对下一个符号造成干扰了。而且，每发出一个符号，我们可以在之后的0.1秒和0.2秒分别收到该符号的两个副本，这不就相当于利用多径做了一次“纯天然”的分集么？在“犹抱琵琶半遮面--MIMO信道中隐藏的秘密”中，我们提到过，如何充分利用各种资源，实现“变废为宝”，实乃一大学问。在这里，原本讨厌的多径又一次帮了我们的忙，“免费的”对发送符号进行了分集处理（注，多径带来的分集，从本质上讲，是一种“频率分集”）。但是别忘了，天下没有白吃的午餐，我们来仔细盘算一下享受免费“多径分集”的背后，付出的代价是什么。
图4 频率分集
为了躲避码间串扰，并且获得多径分集，我们每隔0.2秒（即每0.3秒）才发出一个符号，这不就相当于把原信号的带宽从10Hz降到了约3.33Hz（1/0.3）么。而相关带宽是5Hz（1/0.2），哦，原来这种发送策略的实质是人为的让信号带宽小于相关带宽，来避免码间串扰的发生啊。这么做虽然能获得一些分集增益，但原来每秒能传10个符号，现在只能传不到4个，牺牲了太多的系统速率，实在有些不划算。
图5 躲避“码间串扰”的代价
看来，要想在充分利用资源的条件下，还获得分集增益，码间串扰是想躲也躲不掉了。我们只有一条路可以走，那就是“干掉”码间串扰！下一回，我们就来看OFDM是怎么消除码间串扰的。
书接上回。上一篇我们说到了“码间串扰”，还留下了一个问题，那就是如何在不降低信号带宽的情况下，克服码间串扰的影响，顺便再获得点“频率分集”增益呢？今天我们就来聊聊这些话题。
图1多径传播环境
来看图1描述的传播环境，假设从发送方到接收方一共有三条传播路径，信道增益分别为h1，h2和h3。其中路径2和3分别会对信号延时1个和2个时刻。即，在第一时刻，接收方会收到经过直视径到达的信号X1（不考虑噪声） ：
Y1 = h1 × X1；
第二时刻，接收方收到来自直视径的X2和经反射径1延时到达的X1：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
可以看到，码间串扰已经发生。同理，在第三时刻，接收方收到的信号是
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；
以此类推。熟悉“信号系统”的朋友一眼就看出来了，这其实就是输入序列X=[X1，X2，X3…]与信道响应h=【h1 h2 h3 】做了一个卷积，Y = h * X。所以卷积是描述多径传播最漂亮的数学表达。但是卷积的表达式仍然太繁琐，我们不妨来做一个转换。
我们把上面描述的传播环境想象成一个3发1收的MISO系统，那么，上述3条多径信道响应【h1 h2 h3 】就可以看成从3根发送天线分别到接收天线间的直视信道响应，如图2所示。我们设计以下的发送策略：第一时刻，从天线1发送符号X1，这时，接收端收到的就是：
Y1 = h1 × X1；
第二时刻，从天线2发送X1，从天线1发送X2，接收信号是：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
第三时刻，从天线3发送X1，天线2发送X2，天线1发送X3，我们有：
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；
以此类推。很明显，这与卷积的表达式一模一样。现在我们把具有码间串扰的多径传播环境转换成了熟悉的多天线MISO系统，形式上比较好理解，更重要的是，我们可以使用多天线的技术来处理码间串扰了。
图2将多径传播转换成MISO系统
在着手“干掉”码间串扰之前，我们先来看一个有趣的例子，帮助我们直观的理解消除码间串扰时，所采用的思想。
正月十五，笔者和爸爸妈妈去看灯展。这次灯展，有三盏最漂亮的大花灯并排放在最显眼的展台上。笔者很想去展台上和三盏灯合影，但参观的人实在是太多了，管理员不得不做出以下规定：所有人排成一排，按顺序从入口上展台，每盏灯前面只能站一人，照完相后，从出口依次离开，每出去一人，就进来一人。
于是，笔者就去排队了，爸爸妈妈在台下给笔者照相。当某一时刻，笔者走上展台，站在第一盏灯前的时候，其他灯前的游客还没有离开，笔者和三盏灯的合影就有了别人在旁边“抢镜”。同样，在后面两个时刻，有人出就有人进，笔者始终无法单独和三盏灯来一次完美的合影，甚是郁闷。
图3 笔者受到其他人干扰，无法和三盏灯合影
当然，这点小事难不倒笔者，我想，既然没有办法单独和三盏灯合影，那么与其身边站着其他人，不如和自己人一起照。于是笔者把相机交给好心人，拉着爸爸妈妈一起去排队了。这一次，虽然刚上展台的时候，有游客干扰，但是总有一个时刻，展台上只有笔者和爸爸妈妈三人，我们开开心心的来了一张合影。
此时笔者玩心大发，一张合影还不满足，笔者想分别站在三盏灯下，和爸爸妈妈来三张合影。于是笔者拉着爸爸妈妈又一次去排队了。这次，当笔者站在第3盏灯下和爸爸妈妈完成第一张合影后，迅速从出口跑出，绕回入口，紧跟着妈妈再次登上展台（可爱的管理员也不忍心阻止笔者的行动），这样，笔者就在第一盏灯下，又来了一张合影；紧接着，笔者的爸爸也迅速绕回入口，跟在笔者后面再次上了展台，就这样，我们完成了分别在三盏灯下合影三次的愿望。
图4 笔者和父母完成了合影的愿望
看完上面的例子，大家是不是已经被笔者“绕”晕了？呵呵，没关系，我们只要知道笔者是如何“挤”掉其他人，让台上只有我们三人，并且如何通过“循环”入场，获得三次合影机会的，就可以了。因为无线通信中，“干掉”码间串扰，用的也是这两招：
（1）把连续多个符号看成一组，一起进行处理，“挤”开码间串扰。这样码间串扰就只会发生在开头和最后的几个符号上，中间的都是“自己人”，不受影响。
（2）通过在这一组符号的开头或最后设置“循环前缀”，干掉码间串扰。
我们把这两招用数学语言，重新进行描述。仍然考虑开篇的传播环境，这次我们把X1，X2，X3看成一组，并在前面加上“循环前缀”X2，X3，形成【X2，X3，X1，X2，X3 】。然后与信道响应【h1 h2 h3】进行卷积，过程如下：
图5 卷积过程和“灯盏”例子的类比
图6 卷积过程的矩阵表达
我们一共能得到7个时刻的方程，但最后两个说的是本组符号对下一组符号造成的干扰，那就留给下一组符号去解决吧。我们只看前5个时刻。很明显，码间串扰发生在前两个时刻Y1，Y2（信道矩阵中0元素的位置就是干扰符号出现的位置，因为我们没有把干扰符号写进方程，所以该位置是0）。没关系，受到干扰的符号我们删掉，不要了。剩下三个时刻的方程，我们仔细一看，这不就是一个3发3收的MIMO传输方程么？我们曾经把多径传播环境转换成了MISO系统，现在又转换成了MIMO系统！
图7 得到3x3 MIMO系统的过程
说到MIMO系统，我们太熟悉了，至少，我们也花了三大篇文章详细的解释过了。还记得“知己知彼，百战不殆--信道信息的获取和应用”中我们介绍的内容么？MIMO系统的最佳传输矩阵是什么？没错，是对角阵。怎样才能获得对角阵呢？对信道矩阵H进行SVD分解，得到H=U·S·V，其中S就是对角矩阵；接下来，就是用V的共轭转置V*对发送信号进行“预编码”，接收端在收到数据后，同样乘以U*，这样一来，发送的符号就像进入了独立平行的正交子信道，互不干扰。（对这部分内容不熟悉的朋友可以在本论坛内找到“知己知彼，百战不殆--信道信息的获取和应用”。）
图8 MIMO杂谈三中提到的预编码过程
现在我们拿到了一个等效的3x3 MIMO传输系统，当然也可以按照上述过程来处理它。于是，我们对信道矩阵H进行SVD分解----此时此刻，本文最大的悬念就要揭晓了----注意矩阵H的特殊结构，因为我们对发送数据添加了循环前缀，所以H的每一行就有一个“循环位移”，拥有这种“循环位移”结构的矩阵叫做“循环矩阵（Circulant Matrix）”。循环矩阵的一个重要特性就是：对它进行SVD分解后，得到的左酉阵U是“逆傅里叶变换矩阵”（我们用W-1来表示，即U = W-1）；而右酉阵V是“傅里叶变换矩阵”（V = W，注：一组数据乘以“傅里叶变换矩阵”，就相当于对该组数据进行了傅里叶变换，并且有W-1W= WW-1=I）！
图9 循环矩阵的SVD分解
这就是说，如果我们对一组数据先进行 “逆傅里叶变换”，添加“循环前缀”，再送入多径信道；接收端删除掉受干扰的“循环前缀”后，做一个“傅里叶变换”，得到的数据就好像经过了独立平行的正交子信道，彼此之间不受任何干扰。而整个这一套处理流程，不正是“OFDM”么？呵呵，我们一整篇文章好像都在说MIMO，直到最后时刻才让OFDM出场，OFDM同学一定等急了吧？
我们来梳理一下OFDM的处理流程：首先，对一组发送符号进行“逆傅里叶变换”--相当于MIMO系统中的“预编码”；然后，添加“循环前缀”--为的是让传输矩阵H变成“循环矩阵”，最后送入多径信道；接收端舍弃受到干扰的“循环前缀”--码间串扰就这样被干掉了；再做一个“傅里叶变换”--相当于MIMO中对接收信号乘以U*；得到的符号就像经过了互不干扰的正交子信道。
图10 OFDM和MIMO的对比
通过这样的类比，我们猛然发现，“原来OFDM其实也是MIMO啊”。两者的区别在于：MIMO中，对信道H进行SVD分解，需要知道H具体内容；而在OFDM中，预编码矩阵（即“逆傅里叶变换矩阵”）不依赖于H。笔者本来想把这句话写在文章的开头，害怕被拍砖，最后决定还是放在后面吧。不过读到这里，相信大家也跟笔者有了同样的感受了吧？至少，我们从另一个角度诠释了OFDM的意义。
顺便一提，在“灯展”的例子中，笔者实现了在三盏灯下分别合影的愿望，而在OFDM系统中，每个发送符号都和h1 h2 h3相乘过，就是说，我们还获得了一定的“频率分集增益”哦。
既然OFDM 与MIMO有如此深的渊源，而且本回中，并未介绍OFDM相关参数的含义，比如OFDM符号长度，子载波间距等。下一回，我们就来看看OFDM与MIMO联合使用时，会有什么效果？如果我们要设计一个OFDM系统，它的参数应该怎么选取呢？
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闲话：OFDM是“多载波”技术的一种，在单载波系统中，如果要消除码间串扰，就要用到著名的“维特比算法”。关于算法的具体步骤，本文不再赘述。在计算机和互联网领域，维特比算法有着更广泛的应用，比如“语音识别”，“中文输入法”等。对互联网技术感兴趣的朋友也可以阅读吴军老师的“数学之美”。