算法题--源字符串插入最少字符生成回文串

回文字符串

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难度：4

 

描述

所谓回文字符串，就是一个字符串，从左到右读和从右到左读是完全一样的，比如"aba"。当然，我们给你的问题不会再简单到判断一个字符串是不是回文字符串。现在要求你，给你一个字符串，可在任意位置添加字符，最少再添加几个字符，可以使这个字符串成为回文字符串。

 

输入

第一行给出整数N（0 接下来的N行，每行一个字符串，每个字符串长度不超过1000.

输出

每行输出所需添加的最少字符数

样例输入

1
Ab3bd

样例输出

2

Abd3dbA

解题思路1：

分析：d[i][j]表示从第 i 到第 j 的最优解；

if(a[i]==a[j]) d[i][j]=d[i+1][j-1];

d[i][j]=min{d[i][j] , d[i+1][j]+1 , d[i][j-1]+1};

从串的两边考虑，设d(i,j)表示在串s(i,j)中最少插入字符个数 
 
这里有大量重复子问题，所以要用记忆化搜索
 

#include
using namespace std;
const int maxn=1000;
char s[maxn+10];
int d[maxn+10][maxn+10];

int dp(int i,int j){
    if(i>=j)return 0;
    int &ans=d[i][j];
    if(ans>=0)return ans;
    if(s[i]==s[j])return ans=dp(i+1,j-1);
    return ans=min(dp(i+1,j),dp(i,j-1))+1;
}

int main(){
    memset(d,-1,sizeof(d));
    scanf("%s",s+1);
    int n=strlen(s+1);
    cout<

解题思路2：

如果能在原串S中找到最长的子序列L，这个子序列是回文，那么我们就能知道要插入多少个字符是的原串成为回文。

ans = strlen(s) - strlen(L)

问题转为求一个字符串的最长回文子序列，这个问题可以使用最长公共子序列的解法，解法如下：

1.求S的逆序串 S',；

2.那么S和S'的用求最长公共子序列L，L即为S的最长回文子序列(这个规律是在推演中发现的)；

3.那么问题得解：ans = strlen(s) - strlen(L)。

#include
using namespace std;
const int maxn=1000;
char a[maxn+10];
char b[maxn+10];
int sum[maxn+10][maxn+10];

int main(){
    scanf("%s",a+1);
    int n=strlen(a+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[i]=a[n-i+1];
    }
    memset(sum,0,sizeof(sum));

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(a[i]==b[j])sum[i][j]=sum[i-1][j-1]+1;
            else sum[i][j]=max(sum[i-1][j],sum[i][j-1]);
        }
    }
    cout<

例如： S = abca 那么 S' = acba ，那么L = aba 那么答案就是1.即 a c‘ b c a。其中'c'为插入的字符。

该算法的核心是求最长公共子序列，最长公共子序列有DP的求法，算法的复杂度是 时间和空间都是 O(n^2)