学习笔记---街区最短路径问题算法及优化

描述

一个街区有很多住户，街区的街道只能为东西、南北两种方向。

住户只可以沿着街道行走。

各个街道之间的间隔相等。

用(x,y)来表示住户坐在的街区。

例如（4,20），表示用户在东西方向第4个街道，南北方向第20个街道。

现在要建一个邮局，使得各个住户到邮局的距离之和最少。

求现在这个邮局应该建在那个地方使得所有住户距离之和最小；

 

输入

第一行一个整数n<20，表示有n组测试数据，下面是n组数据;
每组第一行一个整数m<20,表示本组有m个住户，下面的m行每行有两个整数0 m行后是新一组的数据；

输出

每组数据输出到邮局最小的距离和，回车结束；

样例输入

2
3
1 1
2 1
1 2
5
2 9 
5 20
11 9
1 1
1 20

样例输出

2

44

分析：因为街区的街道只能为东西、南北两种方向，所以一个点到另一个点的距离即为：横坐标之间的差值加上纵坐标之间的差值

以横坐标为例，很显然的到各个横坐标距离之和最近的点即是各横坐标的中位数

因此有了以下代码：

#include
#include
#include
void maopaoShort(int numbers[],int length) {
	int temp;
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		for (int j = 0; j < length-1-i; j++) {
			if (numbers[j]>numbers[j + 1]) {
				temp = numbers[j + 1];
				numbers[j + 1] = numbers[j];
				numbers[j] = temp;
			}
		}
	}
}

int main() {
	int n;
	int m;
	int x[100];
	int y[100];
	int midX;
	int midY;
	int sum = 0;
	scanf("%d",&n);
	while (n--) {
		scanf("%d",&m);
		for (int i = 0; i < m;i++) {
			scanf("%d %d",&x[i],&y[i]);
		}
		maopaoShort(x,m);
		maopaoShort(y,m);

		if (m%2!=0) {
			midX = x[m / 2];
			midY = y[m / 2];
		}
		else {
			midX = (x[m / 2]+ x[(m / 2) - 1]) / 2;
			midY = (y[m / 2] + y[m / 2 - 1]) / 2;
		}
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			sum += abs(x[i] - midX) + abs(y[i] - midY); //可优化点
		}
		printf("%d\n",sum);
		sum = 0;
	}

}

这也是我最初的做法，但很显然，这样的方法是笨拙、没有技巧的。而看了许多文章，有一种共同的优化方案：

它将

for (int i = 0; i < m; i++) {
			sum += abs(x[i] - midX) + abs(y[i] - midY); //可优化点
		}

替换为了
for (int i = 0; i < m/2; i++) {
sum += x[m - 1 - i] - x[i] + y[m - 1 - i] - y[i];
}

一是不用再调用库函数abs，二是运算量减少了很多，包括求和的，以及求中位数的。

但这个优化是怎么来的呢？刚开始我也对这个问题很是困惑不解，为什么通过简单的相见相加就完成了较为复杂的逻辑呢？

于是我拿起了笔书写下了运算过程

结果是一个很简单，没什么技巧的过程，但没深厚的数学功底，一下子怕也看不出来。

最终代码

#include
#include
void maopaoShort(int numbers[],int length) {
	int temp;
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		for (int j = 0; j < length-1-i; j++) {
			if (numbers[j]>numbers[j + 1]) {
				temp = numbers[j + 1];
				numbers[j + 1] = numbers[j];
				numbers[j] = temp;
			}
		}
	}
}

int main() {
	int n;
	int m;
	int x[100];
	int y[100];
	int midX;
	int midY;
	int sum = 0;
	scanf("%d",&n);
	while (n--) {
		scanf("%d",&m);
		for (int i = 0; i < m;i++) {
			scanf("%d %d",&x[i],&y[i]);
		}
		maopaoShort(x,m);
		maopaoShort(y,m);

		for (int i = 0; i < m/2; i++) {
			sum += x[m - 1 - i] - x[i] + y[m - 1 - i] - y[i];
		}
		printf("%d\n",sum);
		sum = 0;
	}

}