欧拉函数计算公式的推导

前置知识

定理1：φ(a)=a-1，a为质数

定理2：φ( pk )= pk - pk−1 ，p为质数

证明：因为p是质数，所以1..p-1中与p不互质的数一定可以表示为t*p的形式，而t的取值范围是1.. pk−1 ,所以结论得证。

定理3：欧拉函数φ是一个积性函数，即φ(xy)=φ(x) ∗ φ(y)当且仅当gcd(x,y)=1

证明：http://blog.sina.com.cn/s/blog_455c7a600102vxpq.html

推导

现在我们求φ(a)
我们把a分解质因数后得到a= pk11 ∗ pk22 ∗ ….. ∗ pknn
分解质因数后每一项肯定两两互质，所以
由定理3可以知道，φ(a)=φ( pk11 ) ∗ φ( pk22 ) ∗ ….. ∗ φ( pknn )
把定理2的公式变形一下可以得到φ( pk )= pk - pk−1 = pk *(1- 1p )
那么φ(a)= pk11 ∗ (1- 1p1 ) ∗ pk22 ∗ (1- 1p2 ) ∗ …… ∗ pknn ∗ (1- 1pn )
然后把所有 pk 乘起来就是n
于是我们最后得到的答案就是φ(a)=n ∗ (1- 1p1 ) ∗ (1- 1p2 ) ∗ …… ∗ (1- 1pn )

然后想提醒大家的是，那些用计算公式来推导出欧拉函数积性的证明是错误的，因为计算公式的推导建立在积性的基础上。
谢谢大家。