欧拉函数计算公式的推导

前置知识

定理1:φ(a)=a-1,a为质数

定理2:φ( pk )= pk - pk1 ,p为质数

证明:因为p是质数,所以1..p-1中与p不互质的数一定可以表示为t*p的形式,而t的取值范围是1.. pk1 ,所以结论得证。

定理3:欧拉函数φ是一个积性函数,即φ(xy)=φ(x) φ(y)当且仅当gcd(x,y)=1

证明:http://blog.sina.com.cn/s/blog_455c7a600102vxpq.html

推导

现在我们求φ(a)
我们把a分解质因数后得到a= pk11 pk22 ….. pknn
分解质因数后每一项肯定两两互质,所以
由定理3可以知道,φ(a)=φ( pk11 ) φ( pk22 ) ….. φ( pknn )
把定理2的公式变形一下可以得到φ( pk )= pk - pk1 = pk *(1- 1p )
那么φ(a)= pk11 (1- 1p1 ) pk22 (1- 1p2 ) …… pknn (1- 1pn )
然后把所有 pk 乘起来就是n
于是我们最后得到的答案就是φ(a)=n (1- 1p1 ) (1- 1p2 ) …… (1- 1pn )

然后想提醒大家的是,那些用计算公式来推导出欧拉函数积性的证明是错误的,因为计算公式的推导建立在积性的基础上。
谢谢大家。

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