信号与系统学习之第一章（系统的六大基本性质定义与判别:无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变性、线性）

	本人现在大三，由于准备明天研究生考试，故重新学习复习《信号与系统》，
再接下来会将自己的一些学习经历、知识总结与大家分享。对于有所纰漏的地方
希望大家能帮助指出以一同进步。

对于第一章，显然其重中之重便是系统的六大基本性质，那么接下来我会以官方解释及自身的理解加上例题、易错题、及后面学习知识等一同来阐述并判定这几个性质（以连续信号为例、离散信号类似，有所不同则会一同介绍）：
一、无记忆性
①官方解释：如果一个系统的输出仅仅取决于该时刻（即当前时刻）的输入，那么就称这个系统具有无记忆性。
②自身理解：显然输出y（t）仅仅取决于输入x（t），即y（t）=Ax（at）+B 注：A可以是任何除y（t）、x（t）的数值甚至关于t的函数，a只能是常数1。即y（t）不能取决于该时刻以前的输入（若y（t）=x（t-4）则是记忆的），当然也不能取决于该时刻以后的输入（若y（t）=x（t+4）则既非记忆的也不是非记忆的，在后面可以说它是非因果的）。
③判定方法：
1、利用定义判定：若输出只取决于当前时刻的输入，则系统具有无记忆性，即满足y（t）=Ax（at），A可以为常数也可以为关于t的函数，而a只能为常数1。所以说当你做题时或者其他时看到满足这样的关系果断判定！
2、利用冲激响应h（t），对于冲激响应这里简单说一下，它其实就是输入为冲激信号δ(t)的系统输出，反正先记着它就是可以描述整个系统的函数就对了（后续再详细解释）：当t≠0，h（t）=0，也就是说当h（t）=Kδ(t)时即为无记忆性。对于解释，你可以想象一下，对于一个系统我对其输入x（t）=δ(t)，而δ(t)只在t=0出有值为1（可以这样认为），那么当系统具有无记忆性的话，输出y（t）也就是h（t）的值只取决于当前时刻的输入，而输入只在t=0出有值，所以h（t）也只能在t=0处有值（因为在其它t处输入为0，输出肯定为0）。
④例子
如y（t）=x（t±t0）、x（t^n0）、积分、微分等等都不是无记忆性的；
二、可逆性
①如果一个系统在不同输入下，导致不同输出，那么该系统就是可逆的，在强调一遍是不同输入（输入一定要不同）导致不同输出。
②自身理解：其实类似于高等数学中的单调函数，输入为x（t），输出为y（t）（PS：一定要把x（t）看成一个整体，不同是指这个输入信号不同），只有当他们满足单调性时，才具有可逆性。当然此处对于连续信号与离散信号略有不同，下面会通过例题介绍。
③判定方法：
1、利用定义判定：对系统加入不同输入信号时看输出有无相同的，当发现其有所差异时，采取特例法（找出不同输入，这里的不同输入就是不同t下的输入x（t），得到相同输出这种情况，常令x（t）=δ(t)，或x[n]=δ[n]），即可知其非可逆的。
2、利用冲激响应h（t）可判断两个系统是否互为可逆系统：当满足

即可知二者互为逆系统。这主要用来判断两个系统是否互为可逆系统，其实在频域表示就为H（jw）x H1（jw）=1。
④例子：
连续：
y（t）=x（t-t0），显然是可逆的，你看当时x1（t-t0）、x2（t-t0）不同输入时，则对应的y（t）就不同；
y（t）=sin（x（t-t0）），而这个看起来怪怪的，那么我们知道sin是个周期函数，那么显然的不同x（t=t0）、x（t-t0）+2π不同输入时就会取到同一个输出，故不可逆；
对于积分，显然其也是单调的也就是可逆的；
对于微分，由于那什么牛顿莱布尼兹公式，我们知道不同的函数即输入（相差一个常数）微分后有一样的值即输出，故不可逆；
y（t）=x（at），a是常数，当x1（at）、x2（at）输入不同则必然导致y（t）不同，故可逆。
y（t）=tx（at），当x1（t）=δ(t)，x2（t）=2δ(t)不同输入有相同输出，则不可逆；
y（t）=x（t）X x（t） ，当x1（t）=δ(t)，x2（t）=-δ(t)不同输入有相同输出，则不可逆；
差不多连续时间的就这么多了，核心还是给t不同从而输入x（t）不同，看是否会导致y（t）不同。那么我觉得重中之重还是对离散时间信号的判断，你会发现在连续信号中可逆的在离散信号中就不可行了；
离散：
y[n]=x[n-n0]，这显然还是和连续时间一样的，也是可逆；
**y[n]=x[an]，那个这个是否也一样呢，**答案是否定的，给个常数a太空泛了，我们就具体一点y[n]=x[2n]，你看这是什么，这就是压缩，也就是有一般的信号会丢失，那么显然我只要保留的那部分信号相同而丢失的信号不同即有不同输入就会导致同一输出，所以呢，这是不可逆的，那么如果我限定n=奇数说输出为0，那么这就是可逆的啦；
y[n]=nx[n]，当输入为x1[n]=δ(n)、x2[n]=2δ(n)不同输入时有相同输出则不可逆；
y[n]=x[n-1]x[n]，当输入为x1[n]=δ(n)、x2[n]=δ(n-1)不同输入时有相同输出则不可逆；
总之，可逆性的判定大概就是这些，核心就是先观察感觉它不对就找出多对一这样的关系，也要特别区分离散时间与连续时间的不同，当然也要多利用输入为δ(n)这种特例。
三、因果性
①官方解释：如果一个系统的输出只取决于该时刻（即当前时刻）及过去时刻的输入，那么就称这个系统具有因果性。
②自身理解：有没发现和无记忆性很像，只是它包括了过去的时刻，其实它讲的就是，输出不能超前于输入，也就是说不能由还没发生的输入就产生了输出。
③判定方法：
1、利用定义判定：假设当t 2、利用冲激响应h（t）：当t<0，h（t）=0，则具有因果性，具体解释见
https://blog.csdn.net/qq_37335890/article/details/83653338
3、利用后续知识拉氏变换，若其为右边信号则为因果的，即ROC：|s|>s0；Z变换类似。
④例子
y（t）=x（t-t0），t0>0，显然输出和过去的输入有关，故因果的；
y（t）=x（t+t0），t0>0，显然输出和将来的输入有关，故非因果的，不好理解的话可以带入假设t0=1，t=2.则输入为x（2），而输出为x（3），显然输入都还没发生就发生了输出；
y（t）=cos（3t）x（t），在这里，乘积因子cos（3t）对系统的因果性判定不产生影响，故只关注输入信号x（t），显然其是因果的；
**y（t）=x（3t）为例，**其是非因果的，同样用代入法理解，当t=1，输入为x（1），而输出为x（3），输出超前故非因果，其它因子类似，如y（t）=x（0.5t），其是非因果的，同样用代入法理解，当t=-1，输入为x（-1），而输出为x（-0.5），输出超前故非因果；
一个特例需特别记住，微分器也是因果的，虽然用数学上的微分性有所违背，但还是将其看作因果的；
总之，因果性是系统最重要的性质之一，因为只有因果的系统物理才可实现，这在后面的学习中会慢慢体会到。
四、稳定性
①官方解释：如果一个系统的输入是有界的（即输入的幅度不是无界增长的），并且输出也有界，则该系统具有稳定性。
②自身理解：就是输入信号小于某个值，那么输出信号也是会小于某个值，当然这个值可能比输入的界值的大、也可小等等等。
③判定方法：
1、利用定义判定：假定输入有界，x（t） 2、利用冲激响应h（t）：当h（t）绝对可积时，则系统具有稳定性，其实就是|h（t）|的无穷积分小于无穷也就是小于某个确切的值。
3、利用后续知识，拉氏变换其收敛域包括jw轴，Z变换其收敛域包括单位圆，则稳定。
④例子
y（t）=x（t），显然是稳定的，假设x（t） y（t）=tx（t），显然是非稳定的，假设x（t） 而积分微分也同样会可能使输出无界。
所以说当输入x（t）X f（t）时或对其积分微分时可能会导致其无界，非因果。
五、时不变性
①官方解释：若系统的特性和行为不随时间而变，该系统就是时不变的。
②自身理解：其实我觉得这样理解更好，就是输入x（t）时移t0，输出也相应时移t0，即y（t-t0）=F[x（t-t0）]；不过我们今后接触的基本都是时不变的，所以现在判定只是用来加深理解的；
③判定方法：
1、利用定义判定：看是否满足y（t-t0）=F[x（t-t0）]；
④例子
还是用例子来理解比较好，先讲讲具体判断步骤：
首先是令x1（t）则输出为y1（t）
再令x2（t）=x1（t-t0）则输出为y2（t）
再将y1（t-t0）求出与y2(t)相比看是否相等。
对于y（t）=x（at） a为非1常数时，即为时变的；
对于y（t）=f（t）X x（t），f（t）为关于t的函数时，也为时变的；
而对于y（t）=x（t-t0）注意t的系数为1时，系统才为时不变性。
关于这些原因如果有所疑问的话，我后续会总结相关的理解与解释。
六、线性
①官方解释：若系统同时满足比例性（齐次性）和可加性或总称为叠加性则称系统具有线性。
②自身理解：这里有些人觉得分开成比例性和可加性理解更好，也有的人直接就利用叠加性理解，在这里我们还是用前者来理解，其实都大同小异，都是一样的思想。
首先我们先明确一下：输入x1（t）的输出为y1（t），输入x2（t）的输出为y2（t）
比例性：如果满足输入ax1（t）的输出为ay1（t），a为常数，则说明其具有比例性，也就是说输入变化多少倍输出也变化多少倍；
可加性：如果满足输入x1（t）+x2（t）的输出为y1（t）+y2（t），则说明其具有可加性，也就是说不同输入相加的输出其实就是各个输入的输出的代数和；同时满足比例性与可加性才具有线性。
还是讲一讲叠加性：其实就是上述二者之和，如果ax1（t）+bx2（t）的输出为ay1（t）+by2（t），那么就具有叠加性。满足叠加性就具有线性
③判定方法：
1、利用定义判定：具体步骤
先考虑输入x1（t）》》y1（t）
输入x2（t）》》y2（t）；
再令x3（t）=ax1（t）+bx2（t）；
根据x3（t）求出y3（t）；
看y3（t）是否等于ay1（t）+by2（t）；等于则具有线性。
④例子
还是总结下哪些类型：
y（t）=f（t）X x（at-t0）此类都是线性的，如y（t）=tx（t）；
而对于y（t）=（x（t））^2，次方类的，显然不满足比例性，故不是线性的；
总之今后我们遇到的大部分都是线性系统，而对于判断，一般带有次方的就不是线性系统。
最后做个总结，其实这些只是为了帮助理解系统的各种性质，至于一些类型的总结也是方便更好理解，当然可能也有一些不足，在这里说声抱歉！