离散数学【关系】习题解析（二）自反对称传递，闭包，warshall

1.求三大闭包

R的关系矩阵如下

$$M_R=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
自反闭包r( R)将对角线补齐即可
$$M_r(R)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
对称闭包s( R)将矩阵沿着对角线补对称
$$M_s(R)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
传递闭包t( R)需要进行关系的复合
$$M(R^2)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$
因为2传递的
$$R\bigcup R^2=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\bigcup \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M(R^3)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

可以看出R³$⊈$ R$\bigcup$ R²

所以
$$R\bigcup R^2\bigcup R^3=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\bigcup \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\bigcup \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M(R^4)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

发现 R⁴$\subseteq$ R$\bigcup$ R²$\bigcup$ R³

所以t(R)=R$\bigcup$ R²$\bigcup$ R³

2. warshall算法

R的关系图如下

R的关系矩阵如下
$$M(R)=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
warshall算法的核心是，从列开始计算，在为1的元素中，身处在那x列就将x行的值加入当前元素所在的行
$$M31=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M52=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M33=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M15=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]M35=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]M45=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$M16=M36=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

M36就是她的传递闭包t(R)，关系图为，其中红色线（代替虚线更加明显）部分是新加入的序偶

3 求传递闭包和对称闭包

关系矩阵如下
$$M(R)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$$
其对称闭包为，只需将矩阵沿对角线补齐即可
$$M_s(R)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$$
传递闭包的warshall算法
$$M21=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]M41=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

$$M12=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]M52=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

$$M34=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=t(R)$$

所以传递闭包t(R)为M34

等价类定义如下

5 求直积

P(A)={A的所有子集的集合}=2^A
求P(A)与A的直积

AXP(A)={,$\varnothing$>,,,,,$\varnothing$>,}

6 判断集合类型

(1) R={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<4,1>,<4,2>,<,4,4>,<4,6>,<6,1>,<6,2>,<6,4>,<6,6>}

没有<1,1>有<2,2>所以既不是反自反也不是自反

每一条线都有反向的所以是对称的

是可传递的

(2)R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<6,1>,<6,2>,<6,6>}

每个节点都有自旋，所以是自反的

任何不相等的节点连线都只有一条，所以是反对称的

不是可传递的

7 求t( R)

R关系矩阵如下

	a	b	c	d	e
a	0	1	0	0	0
b	0	0	1	0	1
c	0	0	0	1	0
d	0	0	1	0	0
e	0	0	0	0	1

包含的序偶

R={,,,,,}

r®={,,,,,,,,,}

s(R)={,,,,,,,,}

使用warshall算法求得的传递闭包
$$M(R)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]M12=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$M13=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]M23=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]M43=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$M34=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$M55=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

所以t(R)=M55