时域抽样定理，信号重建，附带频域抽样定理

1.时域抽样定理推导

    对连续时间信号以时间间隔T进行时域抽样，得到离散抽样信号,

    即：

    其中T为抽样间隔，抽样频率， 抽样角频率        

                  

    设与分别表示连续时间信号和离散时间信号的频谱，

    即：

           

    抽样信号可表示为：

    对进行连续时间Fourier变换，并利用Fourier的乘积特性，可得：

   

    假设x(t)为带限信号，、频谱示意图如下：

      

      

    根据周期冲激信号的定义以及冲激信号的筛选特性：

    对其进行连续时间Fourier变换：

   

结论：

     1、由式子(2)可以看出，抽样信号频谱是连续信号频谱的周期性搬移，幅度为原来的。即时域离散化对应频域周期化，反过来亦成立，频域离散化时域周期化。

    2、式子②中，揭示了连续时间信号与离散时间信号的内在关系，架起了连续时间信号与离散时间信号相互转换的桥梁。

    3、当时，实际抽样信号的连续时间Fourier变换近似于理想离散信号的DTFT。

    4、从频谱图可以看到，对最高角频率为的带限信号进行时域抽取，为了防止抽样信号出现频谱混叠，需要满足Nyquist采样定理，即

    5、在实际工程中，很多信号的频谱很宽或无限宽，不满足时域抽样定理，若直接对其进行抽样，将产生无法接受的频谱混叠（称为混叠误差）。为了改善这种情况，对待抽样的连续信号先进行低通滤波，使之变为带限信号，再对其进行抽样，从而减少频谱混叠。这类低通滤波器称为抗混叠滤波器，信号经过抗混叠滤波器后会损失一些信息（称为截短误差），但在大多数场合下，截短误差远远小于混叠误差。

2.信号重建

     将离散信号转换为连续信号的过程称为信号重建，其为信号时域抽样的逆过程。

            

    信号的重建可以分为两个过程：首先是将离散时间信号转换为连续时间信号，然后将信号通过一个截止频率为的理想低通滤波器。

    连续时间信号表达式：

    由时域抽样定理的证明过程可知，的连续时间Fourier变换为：

      

    若为带限信号，的频谱示意图如下：

        

    将连续信号通过截止频率为的理想低通滤波器（成为重建滤波器），即可恢复抽样前的连续信号。

   理想低通滤波器频率响应:

                               

    

    

    对进行连续时间Fourier逆变换得到

    信号重建的输出信号与输入信号之间的关系可表示为：

     

3.频域抽样定理推导

     对于非周期序列的频谱都是周期为的连续函数，故只需讨论在一个周期内的抽样情况。对以(N为一个周期内的抽样点数)等间隔抽样，得到周期序列。

    即

    令  

    则有

      

结论：

     1、如果是的等间隔()抽样，则对应的时域序列为对应的时域序列的周期化，周期为。

    2、当是长度为的有限长序列，且满足时，周期化的过程中没用发生混叠。当是无限长序列时，或者有限长序列的长度时，则在周期化的过程中，序列的非0样本点将会重叠。

4.注释解析

    注释1：

     周期冲激信号：

    对于任意的周期信号都可以用傅里叶级数形式表示：

         其中   

    则有：

       

       

    对周期冲激信号进行连续时间Fourier变换：

     

        其中