数据结构 - 树与二叉树 （C++）

一. 树的基本概念
 树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。它有唯一的根（1结点）和若干颗互不相交的子树（如图上子树5、11、12等）组成。

 接下来以上面树为例子介绍树的基本术语。

• 结点：1、2、3等都是结点，每个结点包含数据元素还有指向子树的分支。
• 结点的度：结点拥有的子树的数。（如：5结点的度为2）
• 树的度：树种各结点度的最大值。（如：上述树的度为3，即为3结点的度）
• 叶子结点：度为0的结点，也叫终端结点。（如：2、13、14等）
• 非终端结点：度不为0的结点，也叫分支结点。（如：3、7、9等）
• 孩子：结点子树的根。（如：1的孩子为2、3、4、5）
• 双亲：与孩子结点相对应。（如：2、3、4、5结点的双亲都是1结点）
• 兄弟：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。（如：2、3、4、5互为兄弟）
• 祖先：从根到某一结点路径上的全部结点。（如：对路径1、5、11，1和5都是11的祖先）
• 子孙：以某结点为根的子树中的所有结点，都是该结点的子孙。（如：4的子孙是9、10、16）
• 层次：从根开始，每层子树算作一层。
• 树的高度（或深度）：树中结点的最大层次。（如：上述树的高度为4）
• 有序树：树中结点的子树从左到右是有次序的，不能交换。
• 无序树：树中结点的子树没有顺序，可以相互交换。
• 森林：若干棵互不相交的树的集合。

二. 树的存储结构

1. 顺序存储结构：

 假设以一组连续空间存储数的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。
示意图：

代码实现：

/* 树的双亲表法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int  ElemeType;

typedef struct PTNode{ // 结点结构
    ElemeType data; //结点数据
    int parent;    // 双亲位置
}PTNode;

typedef struct { // 树结构
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   // 结点数组
    int r; // 根的位置
    int n; // 结点数
}PTree;

特点：

• 由于根结点是没有双亲的，约定根结点的位置位置域为-1.
• 根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点。所用时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。
• 缺点：如果要找到孩子结点，需要遍历整个结构才行。

2. 链式存储结构：

//二叉树链式存储结构定义 
typedef struct BTNode{
	ElemType  data;		//数据域 
	struct BTNode *lchild;	//左孩子 
	struct BTNode *rchild;	//右孩子 
}BTNode; 

三. 二叉树的遍历

//二叉树先序遍历 - 递归 
void preorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		visit(p);	//访问结点 
		preorder(p->lchild);//先序遍历左孩子结点 
		preorder(p->rchild);//先序遍历右孩子结点 
	}
}

//二叉树中序遍历 - 递归 
void inorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		inorder(p->lchild);//中序遍历左孩子结点 
		visit(p);	//访问结点 
		inorder(p->rchild);//中序遍历右孩子结点 
	}
}

//二叉树中后序遍历 - 递归 
void postorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		postorder(p->lchild);//后序遍历左孩子结点 
		postorder(p->rchild);//后序遍历右孩子结点 
		visit(p);	//访问结点 
	}
}

四. 构造二叉树
根据 先序遍历 + 中序遍历 或 中序遍历 + 后序遍历 可以构造一个二叉树：

//根据前序序列，中序序列构造二叉树 
//参数：前序序列 中序序列 序列长度 
BTNode *createBT(ElemType *pre, ElemType *in, int n){
	BTNode *root = NULL;	//定义二叉树根节点     
	ElemType *p;			
	int k;
	
	if(n <= 0)	//数组长度错误 
		return NULL;
	if(pre == NULL || in == NULL)//序列空 
		return NULL;
		
	root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));	//构造根结点 
	root->data = *pre;
	
	for(p = in;p < in + n;++p)	//计算左子树长度 
		if(*p == *pre)
			break;
	k = p - in;
	
	root->lchild = createBT(pre + 1,in,k);	//递归构造左右子树 
	root->rchild = createBT(pre + 1 + k, p + 1, n - k - 1);	
	
	return root;
}

五.求结点数

//计算二叉树的结点数 
int nodeNum(BTNode *p){
	if(p != NULL)
		return nodeNum(p->lchild) + nodeNum(p->rchild) + 1;
	else
		return 0;
} 

//计算二叉树的叶子结点数 
int lastNodeNum(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		if(p->lchild == NULL && p->rchild == NULL)
			return 1;
		else 
			return lastNodeNum(p->lchild) + lastNodeNum(p->rchild);
	}
	else
		return  0;
} 

演示代码

#include 
#include 

using namespace std; 

typedef char ElemType  ; 

//二叉树链式存储结构定义 
typedef struct BTNode{
	ElemType  data;		//数据域 
	struct BTNode *lchild;	//左孩子 
	struct BTNode *rchild;	//右孩子 
}BTNode; 


//根据前序序列，中序序列构造二叉树 
//参数：前序序列 中序序列 序列长度 
BTNode *createBT(ElemType *pre, ElemType *in, int n){
	BTNode *root = NULL;	//定义二叉树根节点     
	ElemType *p;			
	int k;
	
	if(n <= 0)	//数组长度错误 
		return NULL;
	if(pre == NULL || in == NULL)//序列空 
		return NULL;
		
	root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));	//构造根结点 
	root->data = *pre;
	
	for(p = in;p < in + n;++p)	//计算左子树长度 
		if(*p == *pre)
			break;
	k = p - in;
	
	root->lchild = createBT(pre + 1,in,k);	//递归构造左右子树 
	root->rchild = createBT(pre + 1 + k, p + 1, n - k - 1);	
	
	return root;
}

//访问函数
void visit(BTNode *p){
	//访问结点 
	cout<data; 
} 

//二叉树先序遍历 - 递归 
void preorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		visit(p);	//访问结点 
		preorder(p->lchild);//先序遍历左孩子结点 
		preorder(p->rchild);//先序遍历右孩子结点 
	}
}

//二叉树中序遍历 - 递归 
void inorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		inorder(p->lchild);//中序遍历左孩子结点 
		visit(p);	//访问结点 
		inorder(p->rchild);//中序遍历右孩子结点 
	}
}

//二叉树中后序遍历 - 递归 
void postorder(BTNode *p){
	if(p != NULL){
		postorder(p->lchild);//后序遍历左孩子结点 
		postorder(p->rchild);//后序遍历右孩子结点 
		visit(p);	//访问结点 
	}
}



int main(int argc, char** argv) {
	
	ElemType pre[] = "ABCDEF";
	ElemType in[] = "CBAEDF";
	BTNode *a = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); 
	a = createBT(pre,in,6);
	inorder(a);
	
	
	return 0;
}