插值与拟合，样条插值

关键字：，B样条，回归

一、定义

也叫“内插法”，给定包含一组(x,f(x))，该组里面有n个数据点。然后根据这一组数据点计算一个新的点Xi处对应的的f(Xi)值，一般这个新的点对应的值f(x)都是经过近似得到。GPR就是其中一种计算f(Xi)的值的方法。

百度百科定义：是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

可以使用“图解内插”，它利用实验数据提供要画的简单曲线的形状，然后调整它，使得尽量靠近这些点。

也可以使用“表格内插”，近似f(x)的近似函数p(x)取多项式，为插值多项式，可以使用差分法或待定系数法。

二、分类

2.1 Lagrange插值

即n次多项式插值，构造n次多项式

2.2 Newton插值

2.3 Hermite插值

利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的

2.4 分段插值

2.5 样条插值

在分段插值基础上改进，这是一个很有用的方法

参考：北航的数值分析 https://wenku.baidu.com/view/14e0c3c7844769eae009edfa.html

2.4的分段低次插值收敛性好但是光滑度不够，样条插值为了光滑性提出。

下面确定4n个系数

最近的重点是B样条，B样条是样条的一种，与上面两种的方法不同在于系数的求法，可以看一下我另一篇关于B样条的博客

三、插值与拟合的对比

列表函数：给定n+1个不同的数据点（x0,y0）,(x1,y1)...,(xn,yn)，称由这组数据表示的函数为列表函数。

逼近：为

回归：一般只线性回归，是求最小二乘解的过程。在求回归之前，已经假设所有型值点同时满足某一曲线方程，计算只要求出该曲线方程的系数。