算法——动态规划

1.动态规划的基本思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
与分治法类似基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
2.设计动态规划算法的步骤：
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
（2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；
（3）以自底向上的方式计算出最优值；
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略；
若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。
3.动态规划问题的特征
动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构和重叠子问题。
（1）最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
（2）重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

计算矩阵连乘积的DP算法
#include
using namespace std;
#define NUM 51
int p[NUM];
int m[NUM][NUM];
int s[NUM][NUM];
void MatrixChain(int n)
{
	for (int i=1; 　i<=n; 　i++)　m[i][i] = 0;
	for (int r=2;　 r<=n; 　r++)
	for (int i=1;　 i<=n-r+1;　 i++) 
	{
		int j=i+r-1;　
	　　//计算初值，从i处断开
	　　m[i][j] = m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
	　　s[i][j] = i;　
	　　for (int k=i+1; 　k<j; 　k++) 
	　　{　
			int t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
			if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
	　　}
	}
}
//计算矩阵连乘积最优解的递归算法
void TraceBack(int i, int j) 
{ 
	if(i==j) cout<<i<<endl;
	else 
	{
		cout<<"(";
		TraceBack(i,s[i][j]); 
		TraceBack(s[i][j]+1,j); 
		cout<<")"; 
	}
}
//计算矩阵连乘积的递归算法
int Recurve(int i, int j)
{
　　if (i == j) return 0;
　　int u = Recurve(i, i)+Recurve(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
　　s[i][j] = i;
　　for (int k = i+1; k<j; k++) 
　　{
		int t = Recurve(i, k) + Recurve(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];
		if (t<u) { u = t; s[i][j] = k;}
　　}
　　m[i][j] = u;
　　return u;
}