Armstrong公理系统，求属性集X关于F的闭包XF+，最小依赖集

Armstrong公理系统

设U 是R 的属性集，F 是R 上成立的只涉及U 中属性的函数依赖集，函数依赖的推理规则有以下三条：

• 自反律：若属性集Y包含于属性集X，属性集X 包含于U，则X→Y 在R 上成立

• 增广律：若X→Y 在R 上成立，且属性集Z 包含于属性集U，则XZ→YZ 在R上成立

• 传递律：若X→Y 和 Y→Z在R 上成立，则X →Z 在R 上成立

推导出Armstrong公理的推论:

• 合并规则：若X→Y，X→Z同时在R上成立，则X→YZ在R上也成立
• 分解规则：若X→W在R上成立，且属性集Z包含于W，则X→Z在R上也成立。
• 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。则 XW→YW

函数依赖闭包

闭包 F +

定义:在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫
作F的闭包（closure），记为F +。

X关于函数依赖集F的闭包XF+

定义:设F为属性集U上的一组函数依赖，X ⊆U， XF+ ={ A|X→A能 由F根据Armstrong公理导出}，XF+称为属性集X关于函数依赖集F的闭
包。

关于闭包的引理

设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y ⊆ U，X→Y能由F根 据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y ⊆XF+。

用途：

1. 将判定X→Y是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，就转化 为求出XF+ ，判定Y是否为XF+的子集的问题。
2. 如果XF+= U，X是R 的候选码。

求法举例：

结束条件为X(i)=X(i-1)或X(i)=U

最小依赖集

例题：

R，U=ABCD,
函数依赖集 F = {A→BD，AB→C，C→D}。 求：F最小函数依赖集

解法步骤：

1. 将F中的所有函数依赖的右边化为单一属性
2. 去掉F中的所有函数依赖左边的冗余属性
3. 去掉F中所有冗余的函数依赖

(a)+含c，b为冗杂属性。

去掉冗余属性及冗余函数的具体方法便是求闭包，看闭包集里面是否包含所有关系并去掉重复关系

F的最小依赖集Fm不一定是唯一的