Bootstrap抽样和Monte Carlo思想

写在前面

总是搞不懂、记不住这些名字好像很厉害的算法思想，这篇文章主要写一下Bootstrap抽样和蒙特卡罗算法思想。

一、Bootstrap抽样

1、基本思想

Bootstrap抽样的基本思想是在全部样本未知的情况下，借助部分样本的有放回多次抽样，构建某个估计的置信区间，抽象地说，通过样本得到的估计并没有榨干样本中的信息，bootstrap利用重采样，把剩余价值发挥在构建置信区间上。

2、算法流程

对于一个样本 x1,x2,...,xn ，其总体的概率分布中的参数 θ 是未知的，（参数 θ 可以简单理解为一些指标，比如，均值、中位数、方差等，当然还有一些比较复杂的指标），现在想要利用这些有限的样本得到一个估测值 θ^ 。
Step1：根据自己的需要选择确定重采样的次数i，1000或者2000等；
Step2：从 x1,x2,...,xn 中有放回的抽取n次（这个n必须要已知样本数目相等），因为是有放回的，所以在n次抽取之后，可能有的样本被抽取多次，也可能有的样本一次都没有被抽取。
Step3：重复Step2，一共i次（Step1中的i），对每次抽取后的结果都计算出一个 θ^ 值。
Step4：利用得到的 θ1^,θ1^,...,θi^ 作为一个sample，计算其 α2∗100% 和 (1−α)∗100% 的百分位置，得到的就是近似出的，估测总体参数 θ 的置信区间的最低和最高点 [x,y] 。

3、举例说明

想要统计全校学生的平均年龄，但是学校总体的数据比较难拿到，而且数据量很大，但是现在你已经有了一部分学生的年龄信息，比如200个学生的信息。
现在你从这200个学生信息中有放回的抽取200次，计算对应的平均年龄 θ^ ，重复30次（即上文中的i），这30个 θ^ 的分布大概就能代表全校学生的平均年龄。
可能会有疑问，觉得这种方法结果不准确，但是我们使用这个方法的原因就是不能知道准确的全部样本，所以才使用bootstrap模拟，模拟出来的只是一个相对准确的结果。

二、蒙特卡罗思想

蒙特卡罗是一类随机算法的统称，其主要思想是采样越多，得到的结果越近似于最优解。更多的是从总体中抽一个样本，计算估计量（均值等），作为整体估计。
举例说明，一个有1000个整数的集合，要求其中位数，可以从中抽取m<1000个数，把它们的中位数近似地看作这个集合的中位数。随着m增大，近似结果是最终结果的概率也在增大，但除非把整个集合全部遍历一边，无法知道近似结果是不是真实结果。

三、Bootstrap抽样思想和Monte Carlo思想区别

Monte Carlo和Bootstrap是两种思想，都是基于random sampling去近似某一目标。Monte Carlo的目标一般是一个难以计算的积分，bootstrap的目标一般是统计推断。
bootstrap是从部分样本有放回的重采样i次（全部样本是未知的），将多次抽样的估计量（均值等）的分布作为整体的分布结果。而蒙特卡罗是在已知总体样本的情况下，不想计算全部值，就从中抽取一个样本（或多个），用这个抽取样本的估计量当做整体估计。

参考文章：https://www.zhihu.com/question/22929263