霍夫变换原理

看到网上一堆讲原理讲得乱七八糟还抄袭的博客，把自己看懵了……转手一wiki发现写得很清晰，这里贴上来供学习。

对于直角坐标系（笛卡尔坐标系）平面的一条直线的斜截式：
$y=k_{0}x+b_0$

这里将$(k_0,b_0)$看做参数空间$(k,b)$ 中的一点，我们知道当直线与x轴垂直时，k为无穷大，因此斜截式无法表示全部的直线。用Hesse normal form来表示直线的参数（这里是将参数的表示换了，而不是将直线从直角坐标系换到极坐标系）

所以：$k=-\frac{cos\theta }{sin\theta }$ , $b=\frac{r}{sin\theta }$ ,代入原斜截式方程得到方程的表达式如下：

$y=-\frac{cos\theta }{sin\theta }x+\frac{r}{sin\theta }$

整理可得$r=xcos\theta +ysin\theta$，因此，给定一个点$(x_0,y_0)$，通过该点的所有直线的集合（参数是斜率和截距，这里用ρ、θ表示）表示为：

$$\begin{gathered} r=x_{0}cos{\theta }_{+}{y}_{0}sin\theta \\ =\sqrt{x_o^2+y_0^2}(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}+\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}) \\ =\sqrt{x_0^2+y_0^2}(cos\gamma cos\theta +sin\gamma sin\theta ) \\ =\sqrt{x_0^2+y_0^2}cos(\theta -\gamma ) \end{gathered}$$

因此，判断两个点是否共线的问题，在经过霍夫变换之后，变成判断通过两点的所有直线是否相交的问题。又因为通过一个点的所有直线在(r,θ)平面上代表一条曲线，画出任意两个点的两条曲线，若相交，就表示这两个点在同一条直线上。