知乎热议：拿爱因斯坦相对论证明勾股定理，网友：我裂开了

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相对论也没想到，自己有生之年还可以被拿来证明勾股定理。

勾股定理是什么，人人都知道：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a 和 b，斜边长度是 c，那么可以用数学语言表达为「a²+b²=c²」。

勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，现存几百种证明方法。

不过，用爱因斯坦相对论中的质能方程证明勾股定理，是怎样的一个过程？

不久前，这个话题登上了知乎热榜的第一名。

6 月 17 日晚间，一位匿名的知乎用户发布提问「如何看待人教版教材疑似出现低级错误，用爱因斯坦相对论证明勾股定理？」，提到在人教版数学八年级下册的自读课本中，出现了「爱因斯坦对勾股定理的证明」的相关内容。

教材上这样写道：「2005 年是爱因斯坦建立相对论 100 周年，爱因斯坦在相对论中给出了一个著名的质能方程 E=mc²，其中 E 表示物质所含的所有能量，m 是物质的质量，c 是光速，这个质能方程是现代制造核武器、核电站的理论基础。」

紧接着话锋一转，这本教材展示了爱因斯坦用相对论证明勾股定理的详细过程：

首先，假设某一直角三角形的三条边为 a、b、c，同时设这一直角三角形的面积为 E，根据相对论质能方程可知：E=mc²。

然后，从直角顶点出发作斜边 c 的垂线段。此时，这一直角三角形被分割成为了两个小三角形，它们的面积分别为：

E(a)=ma², E(b)=mb²

鉴于 E=E (a)+E (b)，即 mc²=ma²+mb²。

只需要约去式子两边相同的 m，可得 c²=a²+b²。

乍一看，似乎有点道理。也就是说，成功地用相对论质能方程证明了勾股定理？

在证明过程之后，教材编撰者特别提到，爱因斯坦随后发表了这个证明，并且「震惊了国际数学界」。

「大家发现原来相对论有这么大的威力。后来德国著名的数学刊物 Mathematische Annalen 聘请爱因斯坦去做了多年的主编。」

等等，为什么质能方程里的 m 可以随便约掉，真空光速 c 和斜边长 c 也变成了一回事？

一场迷惑的数学证明：翻译的锅？

看完这个头头是道的证明过程以后，许多网友表示「我裂开了」，并缓缓打出了一个问号：

虽然一眼看起来就是很不靠谱，但大家也尝试分析了一下教材上出现这种低级错误的原因。

知乎用户 @卢健龙表示：「用量纲分析和相似三角形来证明勾股定理本来是一个很巧妙的思路。将大的直角三角形以斜边上的高分成两个小直角三角形后，三个直角三角形是互为相似三角形的，它们各自的面积正比于各自斜边边长的平方（来源于量纲分析），且三者的系数相等（来源于相似性）。将这个共同的系数记为 m，将三个直角三角形的斜边长度分别记为 c、a 和 b，便有了等式：mc²=ma²+mb²，约去非零系数 m 便得到了勾股定理。

题目中课本的编写者可能是看到『mc²』和『爱因斯坦』等字眼，便自作聪明地将这个证明与相对论中的质能方程 E=mc² 联系了起来。这也体现了编写者自己并没有真正理解这个证明的思路，只是根据一知半解的主观臆想去脑补和传播错误信息。」

也有人认为，这是翻译教材时出错的结果。知乎用户 @张峻铭表示：「我估计是翻译的老师意淫出了这么一个过程。」

知乎用户 @张峻铭：先不说把光速和斜边长混淆起来多么可笑了，即便这个过程是对的，我印象里相对论的推导也是用到了勾股定理来着，这样难道不算循环论证？

话说回来，爱因斯坦究竟有没有证明过勾股定理？

爱因斯坦和勾股定理

经过一番查证，我们得知，爱因斯坦确实证明过勾股定理，但和质能方程真的没什么关系。

这是另外一个版本的经历，故事还要从他 12 岁说起……

根据 The NewYorker 在 2015 年刊发的一篇报道，1949 年，爱因斯坦在美国的一本文学杂志《星期六评论》上发表文章，回忆了自己童年的两个重大时刻。12 岁时，爱因斯坦得到了一本「关于欧几里得平面几何的小册子」，里面所提到的毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理）令他着迷。最终他证明了这一定理，并在文章中提到自己使用的是「三角形的相似性」。

后人尝试还原了这个过程。当我们从直角顶点作垂线段时，原三角形就被分成了两个小三角形。

因为它们对应的角是相等的，对应的边长也是等比的，所以我们称之为「相似」。因此，这三个三角形的面积可表示为 fc、fa、fb，显然 fc=fa+fb。

如下图所示，a²、b²、c² 分别代表由三角形斜边形成的正方形的面积。

注意，在相似性的前提下，每一个正方形的面积都与对应的三角形面积有着等比关系。

因此推导出，a²+b²=c²。

当然，由于年代已久，我们无从得知幼年的爱因斯坦具体是如何证明勾股定理的，也无从得知他当年的证明方法是否独树一帜。但总归和相对论没有任何联系。

更重要的是，这一错误出现在义务教育阶段的课本上，购买了这本教材的学生，会不会因此产生理论认知上的偏差呢？

在某电商平台上，这本教材已经售出了 600 本。

参考链接：

https://www.zhihu.com/question/401988398

https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/einsteins-first-proof-pythagorean-theorem

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