给定n个互不相同的顶点，求它们可以构成的不相同的无向连通图数量（POJ-1737）

1、题目

给定n个互不相同的顶点，求它们可以构成的不相同的无向连通图数量
http://poj.org/problem?id=1737

2、算法思路

引文思路描述对我来说有点抽象，这里尝试再说细一些（引文列表见本文文末）

思路一：直接求连通图的方案数（本文代码）

递推公式：F(n) = Sum{ F(k)∗F(n-k)∗C(n-2,k-1)∗(2^k -1) | 1<=k

（1）将整个连通图划分为两部分

首先，考虑把n个节点构成的整个连通图分为A和B两块，若连通块A包含k个节点（k个节点含节点2，k的取值从1至n-1），则另外一个连通块B包含n-k个节点（n-k个节点含节点1）
A、B两部分各自的连通图方案数分别为F(A)和F(B)，则组合起来的方案数有：
F(k)*F(n-k)
连通块A的取法：A部分除去节点2的k-1个节点从所有n个节点（除去节点1和节点2）中选取，因此有：
C(n-2,k-1)

TODO：这里为什么是C(n-2,k-1)，而不是C(n,k)？

（2）将两个部分连接起来

接着，由于整体上要求由n个节点构成的图是连通的，因此要设法将上述的连通块A和连通块B连接起来。如图，从节点1到A部分的k个节点的k个连接一共有2^k种排列组合的连接方式，需要排除全不连接的情况，因此满足条件的有：
2^k-1种

综合起来，得到思路一的递推公式：
F(n) = Sum{ F(k)∗F(n-k)∗C(n-2,k-1)∗(2^k -1) | 1<=k

思路二：将总的方案数减掉所有不连通图的方案数

（1）总的方案数

n个节点的全连通图（即任意两点间都有边）的连接数为C(n,2)；考虑每个边的存在和不存在2种情况，因此，总的方案数为：
2^(C(n,2))

（2）非连通图的方案数

将整个节点集合考虑为2个部分：包括节点1的连通部分A（含k个节点）；以及不包括节点1的其它部分B（含n-k个节点）

a.连通部分A的考虑

首先，划分出包括k个节点连通部分A：A中除去点1，其余k-1个节点从剩余n个节点中取，取法数为：
C(n-1,k-1)
A为连通区域，连通图方案数为：
F(k)
因此，连通区域A的方案数为：
C(n-1,k-1)∗F(k)

b.其它部分B的考虑

B中的n-k的各点间任意连边即可，方案数为：
2^(C(n-k,2))

综合起来，得到思路二的递推公式：
F(n)= 2^(C(n,2))-Sum{ C(n-1,k-1) * F(k) * 2^(C(n-k,2)) | 0<=k

4、代码实现

（Java代码）

import java.util.Scanner;
import java.math.BigInteger;

public class Main {

    private static BigInteger[] _f = new BigInteger[100];

    private static BigInteger E(int base, int n) {
        if (n == 0) {
            return BigInteger.valueOf(1);
        }

        BigInteger result = BigInteger.valueOf(base);
        for (int i=1; i<n; i++) {
            result = result.multiply(BigInteger.valueOf(base));
        }
        return result;
    }

    private static BigInteger factorial(int n) {
        if (n == 0) {
            return BigInteger.valueOf(1);
        }

        BigInteger result = BigInteger.valueOf(1);
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            result = result.multiply(BigInteger.valueOf(i));
        }
        return result;
    }

    private static BigInteger C(int n, int m) {
        return factorial(n).divide(factorial(m)).divide(factorial(n-m));
    }

    /* 思路一：直接求连通图方案数
     * 公式：F(n) = Sum{ F(k)∗F(n-k)∗C(n-2,k-1)∗(2^k -1) | 1<=k
    private static BigInteger F(int n) {

        if (_f[n] != null) return _f[n];

        if (n<=2) {
            return BigInteger.valueOf(1);
        }

        BigInteger res = BigInteger.valueOf(0);
        for (int i=1; i<n; i++) {
            BigInteger m1 = F(i).multiply(F(n-i));
            BigInteger m2 = C(n-2, i-1);
            BigInteger m3 = E(2, i).subtract(BigInteger.valueOf(1));
            res = res.add(m1.multiply(m2).multiply(m3));
        }
        
        _f[n] = res;
        return res;
    }

    /* 思路二：总方案数-非联通图方案数
     * 公式：F(n)= 2^(C(n,2))-Sum{ C(n-1,k-1) * F(k) * 2^(C(n-k,2)) | 0<=k
    // private static BigInteger F(int n) {

    //     if (_f[n] != null) return _f[n];
        
    //     BigInteger all = E(2,C(n,2).intValue());

    //     BigInteger except = BigInteger.valueOf(0);
    //     for (int i=1; i
    //         BigInteger m1 = C(n-1, i-1);
    //         BigInteger m2 = F(i);
    //         BigInteger m3 = E(2, C(n-i,2).intValue());
    //         except = except.add(m1.multiply(m2).multiply(m3));
    //     }

    //     BigInteger res = all.subtract(except);

    //     _f[n] = res;
    //     return res;
    // }

    public static void main(String arg[]){
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        while(s.hasNextInt()) {
            int n = s.nextInt();
            if (n == 0) break;
            System.out.println(F(n));
        }
        return;

    }

}

4、最后说几个点

（1）引文说明：网上关于这题有很多检索结果，但是不少还是存在谬误（公式错或公式和代码对不上等等）；下面几篇文章就正、反两种思路给出了比较详细的分析，也给出了部分代码：https://www.cnblogs.com/longdouhzt/archive/2012/03/05/2380994.html（思路1公式有问题，思路2正确）
https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79569016（思路1公式正确，但是没给代码）
（2）大整数计算：下文Java代码直接使用BigInteger（ref：https://blog.csdn.net/baidu_41560343/article/details/89971950）
*** 此外：下文描述了根据“同余定理”的模1000000007技巧（本文代码未使用该技巧）
https://blog.csdn.net/weixin_41754415/article/details/88998826
（3）计算效率问题：下文Java代码通过对主计算函数f()加入一片“缓存”（数组_f[]）来存储f的计算结果的方式避免重复计算。其实类似的思路也可以用在阶乘计算函数factorial()以及幂函数计算函数E()都可以用类似的方式来处理。但是由于在poj已经AC了（213ms），就没有做进一步处理了
（4）OJ的Java代码“套路”（输入、输出的处理等）：https://blog.csdn.net/qq_38174756/article/details/83537860
（5）幂指数函数计算有个小“坑”，一定要做幂等于0的返回1的分支… 基础知识…

“送”一张图

横坐标是节点数量，纵坐标是n个节点构成的所有图中连通图的占比，看上去，n为两位数时，各种情形中99%以上都是连通图了