似然（likelihood）和概率（probability）的区别与联系
虽然经常在paper和教程中看到“似然（likelihood）”的概念，但是一直都没有仔细研究似然与概率的区别，今天查了一些资料，有些收获，在此总结一下。
似然与概率的区别
简单来讲，似然与概率分别是针对不同内容的估计和近似。概率(密度)表达给定 θ \theta θ下样本随机向量 X = x \textbf{X} = {x} X=x的可能性，而似然表达了给定样本 X = x \textbf{X} = {x} X=x下参数 θ = θ 1 \theta=\theta_1 θ=θ1(相对于另外的参数取值 θ 2 \theta_2 θ2)为真实值的可能性.
换言之, 似然函数的形式是 L ( θ ∣ x ) L(\theta|x) L(θ∣x),其中"|"代表的是条件概率或者条件分布,因此似然函数是在"已知"样本随机变量 X = x \textbf{X}=x X=x的情况下,估计参数空间中的参数 θ \theta θ的值. 因此似然函数是关于参数 θ \theta θ的函数,即给定样本随机变量 x x x后,估计能够使 X X X的取值成为 x x x的参数 θ \theta θ的可能性; 而概率密度函数的定义形式是 f ( x ∣ θ ) f(x|\theta) f(x∣θ), 即概率密度函数是在"已知" θ \theta θ的情况下,去估计样本随机变量 x x x出现的可能性.
注意上面有一句中需要理清几个概念:
估计能够使 X X X的取值成为 x x x的参数 θ \theta θ的可能性
- 统计学中, 样本随机变量的出现是基于某个分布的.例如 f ( x ∣ θ ) f(x|\theta) f(x∣θ)代表x服从 f f f分布,而 f f f的分布是由参数 θ \theta θ决定的.
- 通常在概率统计学中 X \textbf{X} X代表的是随机变量,而小写形式 x x x通常代表其具体取值. 假定 X X X服从二项分布(也可以是任何其他分布), 则可以写成 X ∼ B ( n , p ) X \sim B(n,p) X∼B(n,p), 而该二项分布情况下, 6次试验下x的取值可以是"010011".
- 而上面第一条中, 其实包含了一个前提假设,就是我们已知 X X X服从二项分布, 这种假设的数学含义是什么呢? 对, 就是决定该分布的参数为 θ \theta θ, 即参数 θ \theta θ刻画了随机变量 X \textbf{X} X在概率空间中服从什么分布. 更具体一点,假如 X X X服从二项分布，那么其由 θ \theta θ决定的形式为 f ( x ; n ; k ∣ θ ) = P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k f(x;n;k|\theta)=P(\textbf{X}=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} f(x;n;k∣θ)=P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k. 其中p可以代表二项分布中"1"出现的概率,即 θ \theta θ的取值, 比如可以取值为"1/2". 而在似然估计中 θ \theta θ是怎么得到的呢? 还是以上面 x x x的取值"010011"为例, 可以发现6次试验中,"1"出现了三次,那么这种情况下p取值为"1/2"是可能性最大的,即最接近 θ \theta θ的真实分布.
似然与概率的联系
似然函数可以看做是同一个函数形式下的不同视角.
以函数 a b a^b ab为例. 该函数包含了两个变量,a和b. 如果b已知为2, 那么函数就是变量a的二次函数,即 f ( a ) = a 2 f(a)=a^2 f(a)=a2; 如果a已知为2,那么该函数就是变量b的幂函数, 即 f ( b ) = 2 b f(b) = 2^b f(b)=2b.
同理， θ \theta θ和 x x x也是两个不同的变量，如果 x x x的分布是由已知的 θ \theta θ刻画的, 要求估计 X X X的实际取值, 那么 p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(x∣θ)就是x的概率密度函数; 如果已知随机变量 x x x的取值, 而要估计使 X X X取到已知 x x x的参数分布,就是似然函数的目的.
参考知乎上一个形象的例子:
有一个硬币，它有 θ \theta θ的概率会正面向上，有 1 − θ 1-\theta 1−θ的概率反面向上。 θ \theta θ是存在的，但是你不知道它是多少。
为了获得 θ \theta θ的值，你做了一个实验：将硬币抛10次，得到了一个正反序列： x = H H T T H T H H H H x=HHTTHTHHHH x=HHTTHTHHHH。无论 θ \theta θ的值是多少，这个序列的概率值为 θ ⋅ θ ⋅ ( 1 − θ ) ⋅ ( 1 − θ ) ⋅ θ ⋅ ( 1 − θ ) ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ = θ 7 ( 1 − θ ) 3 \theta⋅\theta⋅(1-\theta)⋅(1-\theta)⋅\theta⋅(1-\theta)⋅\theta⋅\theta⋅\theta⋅\theta = \theta^7 (1-\theta)^3 θ⋅θ⋅(1−θ)⋅(1−θ)⋅θ⋅(1−θ)⋅θ⋅θ⋅θ⋅θ=θ7(1−θ)3. 比如，如果 θ \theta θ值为0，则得到这个序列的概率值为0。如果 θ \theta θ值为1/2，概率值为1/1024。但是，我们应该得到一个更大的概率值，所以我们尝试了所有θ可取的值，画出了下图:
这个曲线就是θ的似然函数，通过了解在某一假设下，已知数据发生的可能性，来评价哪一个假设更接近θ的真实值。
如图所示，最有可能的假设是在θ=0.7的时候取到。但是，你无须得出最终的结论θ=0.7。事实上，根据贝叶斯法则，0.7是一个不太可能的取值（如果你知道几乎所有的硬币都是均质的，那么这个实验并没有提供足够的证据来说服你，它是均质的）。但是，0.7却是最大似然估计的取值。因为这里仅仅试验了一次，得到的样本太少，所以最终求出的最大似然值偏差较大，如果经过多次试验，扩充样本空间，
则最终求得的最大似然估计将接近真实值0.5。
One more thing
说到似然，就很自然的会想到机器学习。
在机器学习中，之所以需要似然函数函数的概念，是因为我们往往是想要机器根据已有的数据(相当于 X \textbf{X} X)学到相应的分布(即 θ \theta θ),此概念对应training阶段, 即在训练阶段, 是根据已有的 X X X来估计其真实的数据分布服从什么样的分布 θ \theta θ.
而我们构建模型的目的是, 在实际中应用. 例如根据已有的有限的人脸图像和人脸关键点的标注, 使机器学习到包含人脸的图像和其关键点的对应关系的分布; 然后在实际应用中,能够检测未在数据集中出现过的人脸图像的关键点. 因此在测试阶段, 就是已知参数 θ \theta θ, 来估计该分布下, X \textbf{X} X应该是什么.
参考
https://www.zhihu.com/question/54082000
https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-probability-and-likelihood-1/answer/Jason-Eisner?share=cbfeda82&srid=zDgIt