二次型归纳Ⅱ

7.28已知对称矩阵正定，也正定，求证：正定
提示：同时对角化

7.30已知为对称矩阵，求证：
提示：and

7.31设是可逆的实对称阶方阵，是实反对称阶方阵，且有，求证：可逆。
*提示：法一：可知正定，半正定，故

正定，于是必正定

法二：反证：否则方程有非零解，设为那么

法三：反证：若有非零解，由可逆有
而
即从而

法四：只需证明可逆即可，由有于是

即是实反对称矩阵，其矩阵特征值为0或纯虚数，从而的特征值都不是0

法五：同时对角化*

7.34设是一个阶矩阵，称为矩阵的迹
(1)证明相似变换下的矩阵迹不变
(2)设为对称半正定矩阵，证明
(3)设为对称半正定矩阵，且则
提示：半正定矩阵如果对角线元素为0，那么那一行一列元素全为0。

7.41设为阶对称正定矩阵，为维实向量，证明：

提示：法一：存在可逆矩阵使得，令可得
法二：若构造
法三：利用下一问

7.42设为阶可逆矩阵，是列向量，若则可逆，且

7.44设为可换的阶实对称矩阵，且都可逆，证明：
提示：同时对角化

7.45将元实二次型化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。

7.46设阶对称方阵是正定的，去掉方阵的第行第列的子矩阵记为，记证明在条件下的最小值是，其中
提示：先通过初等变换使得其中则于是令求关于的导数，并令其为0

7.47设是数域上的阶矩阵，已知对任何的列向量,的充分必要条件为证明：要么是对称矩阵要么是反对称矩阵
待解决

7.48设是阶正定矩阵，是任意的维实列向量，证明：
提示：对角化后使用柯西不等式

7.49设是实数域上的级方阵，且证明：如果是对称阵且半正定，则有
提示：法一：对角化
法二：是的一个子空间，要证明只需证明

7.50设证明：正定，求出所有的实系数多项式，使得正定
提示：其中为任意实系数多项式,为任意正数

7.51正定矩阵非对角线上的元小于等于0，求证非对角线上的元素大于等于0.
提示：归纳法