一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系

一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系

@(微积分)

设 p(x),q(x),f(x),f(x)≠0 为连续函数，对于下面的二阶线性非齐次方程：

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) (1)

对应的二阶线性齐次方程：

y″+p(x)y′+q(x)y=0 (2)

有下面的论断：

• y1(x),y2(x),y3(x) 是(1)的三个解，a,b,c是三个常数，并设： y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x) ,
  
  • 那么y是(1)的解的充要条件是：a+b+c = 1
  • y是(2)的解的充要条件是a+b+c=0
• y1(x),y2(x),y3(x) 是(1)的三个线性无关的解，a,b,c是**两个任意常数，并设： y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x) ,
  
  • 那么y是(1)的通解的充要条件是：a+b+c = 1
  • y是(2)的通解的充要条件是a+b+c=0

思考一道题目：

设 p(x),q(x),f(x) 均是x的已知连续函数， y1(x),y2(x),y3(x) 是 y″+p(x)y′+q(x)y=f(x) 的三个线性无关的解， C1,C2 是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解是：C
A.(C1+C2)y1+(C2−C1)y2+(1−C2)y3
B.(C1+C2)y1+(C2−C1)y2+(C1−C2)y3
C.C1y1+(C2−C1)y2+(1−C2)y3
D.C1y1+(C2−C1)y2+(C1−C2)y3

直接利用上面的定理可知：系数之和为1时，即为通解。那么检验可得C是满足的。