时频域能量、功率谱密度、自相关函数

时频域能量相等（parseval定理）

在 物理学 和 工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:

帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。

对于离散时间信号，该理论表达式变换为：

其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。

此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：

其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。

下面用matlab做简单验证。

a = 1:8;
freq_energy = sum((abs(fft(a)).^2))/length(a);
time_energy = a*a';

输出结果freq_energy = time_energy = 204

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能量信号和功率信号

信号的总能量的时域表达式为:

信号的总能量的频域表达式为:

  对不同的信号，上面两个定义中的极限并不一定存在，由此可以区分能量信号和功率信号。也就是说，第一个极限存在，即称为 能量信号，若第二个极限存在，则称为 功率信号。应该记住的一点是，一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。
举例：
脉冲信号，时间上可积，能量谱趋于无穷，频率上不可积，就是能量信号，不是功率信号。
一个正弦（周期）信号进行时间上无限地周期延拓，在时域能量无限，无法积分，但是频域上可积分，就是功率信号。

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平均功率&功率谱密度

  能量信号的平均功率 P 就是：

  功率信号的平均功率 P：

周期信号功率谱

  如果信号是 功率信号，情况就稍微复杂一些了。这里先选取一个 周期功率信号，这个是十分容易的，一个有限长时间的信号进行周期延拓就可以得到了。周期信号在时间上无始无终，能量必然是无限的，但功率可能是有限的。对信号进行傅里叶展开，可以写成：

或表示为复指数形式：

周期信号的平均功率只需要取一个周期进行能量平均即可得到，也即：

或：

利用二项式展开以及三角函数系的正交性，不难化简上式：

或

  An 是周期信号中频率为 nΩ₀ 的谐波分量的幅值，Pn = An²/2 是频率为 nΩ₀ 的谐波分量的功率。所以结论就是：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和。容易理解，周期信号的功率是离散地分布在频率为基频 Ω₀ 整数倍的谐波分量上的。

周期信号功率谱密度

  如果以频率为横坐标，功率 Pn 为纵坐标，就可以得到功率随频率的分布。容易观察到，周期信号的功率谱频率分布是离散的，等间隔的，间隔长度就是基频 Ω₀ = 2π/T₀ ，如果将 Pn 在区间 [nΩ₀, (n+1)Ω₀] 平均化为 Pn/Ω₀ ，就可以得到一条频率连续的分布曲线 G(ω) ，其意义就是频率 ω 上的功率密度，也就是所谓的 功率谱密度，量纲是 [U]²/Hz。功率谱密度曲线的对频率积分就等于平均功率 P，即：

  实际上，如果引入冲击函数 δ(·)，功率对频率微分也可得到周期信号的功率谱密度，功率谱密度在基频整数倍为脉冲形式，即 G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ₀)，同样满足功率谱密度的积分就等于平均功率 P。
  以三角函数对功率展开, 幅值 An 为实数，n 仅取正值，功率谱密度 G(ω) 为单边功率谱，如果以复指函数形式对功率展开，系数 Cn 为复数，而 n 取全体整数，功率谱密度 S(ω) 为双边功率谱，二者关系为：An = 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

非周期信号功率谱

  下面考虑 非周期功率信号，这类信号也非常常见，如平稳随机过程。
  非周期信号可以用周期信号的思路来推广，相当于周期信号中的周期 T₀ → ∞ 。
  周期趋近于无穷意味着基频（离散谐波的频率分布间隔） Ω₀ → 0 ，离散的谐波功率谱线趋于连续。同时，傅里叶系数 An 也趋于 0，也就是说，在谐波功率谱线的图形中，所有频率的谱值 Pn 都是无穷小，注意到，功率谱的频率密度 G(ω) = Pn/Ω₀ 却为有限值，可以用于描述功率的频率分布。
  通过对信号的截断也容易理解非周期信号的功率谱密度。功率信号 x(t) 无法直接进行傅里叶变换，但通过对信号截断，则截断后的 [-T, T] 上有限时长的信号 x₀(t)则为能量信号，可进行傅里叶变换，得到截断信号 x₀(t) 能量的频率表示 |X₀(ω)|²。随着截断时间 2T 趋于无穷，截断信号 x₀(t) 逼近功率信号 x(t)，能量谱密度 |X₀(ω)|² 趋于无穷，而其时间平均则为有限值，也即功率谱密度 G(ω) = lim(1/2T)|X₀(ω)|² 。

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理解自相关函数

以下是用来理解相关函数的3个案例：

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自功率谱密度和自相关函数互为傅里叶变换对

分别理解了自功率谱密度和自相关函数之后，开始看二者互为傅里叶变换对的原因。