【C】快速傅里叶变换（FFT）讲解及实现

• 引言
• 基2FFT

1.引言

人类的求知欲是永无止境的，自1965年 T. W. Cooley 和 J. W. Tuky 在《Math. Computation, Vol, 19, 1965》发表了著名的《 An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series 》，人们对 有关傅里叶变换的改进和创新就从未止步。1984年，P. Dohamel 和 H. Hollmann 提出的分裂基快速算法，使得算法的运算速率上升到了新台阶。

直至今日，已提出的快速算法有多种，还有很多学者在不断研究探索新的快速算法。

本文仅介绍最经典的基2FFT算法原理及编程思想。

2.基2FFT

基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation-In-Time FFT, 简称 DIT - FFT);

     频域抽取法FFT(Decimation-In-Frequnency FFT, 简称 DIF - FFT);

2.1 FFT 基本思想

对于信号的N点离散傅里叶变化（Discrete Fourier Transform， DFT），DFT的复乘次数为N*N, 复加次数为N*(N-1),当N = 1024时，N*N = 1048576，显然实时信号处理对时间的苛刻要求对应于当代硬件是一个矛盾。FFT算法就是不断二分DFT, 利用旋转因子W^m_N的周期性和对称性减少运算量。

周期性表现为：W^(m+iN)_N = e^( -j2*pi/N*(m+iN) ) = e^(-j2*pi/N*m - j2*pi*i) = e^(-j2*pi/N*m) = W^m_N

对称性表现为：W^(-m)_N = W^(N-m)_N  or  W^(m+N/2)_N = -W^m_N

2.2 时域抽取法 基FFT 基本原理

• 序列x(n)长度为16，满足N=2^M
• 将序列按照n的奇偶性二分：x(2r)  and x(2r+1)  
• 再二分，分到不可二分结束。
• X(k)         = X1(k) + W^k_N*X2(k)
• X(k+N/2) = X1(k) + W^k_N*X2(k)
• 即   X(0) + X(0+16/2)   =   X(0)+X(8)      =   X1(0)
•       X1(0)+X1(0+8/2)   =   X1(0)+X(4)     =   X2(0)
•       X2(0)+X2(0+4/2)   =   X2(0)+X2(2)   =   X3(0)
•       X3(0)+X3(0+2/2)   =   X3(0)+X3(1)   =   X4(0)

【 16点 时域抽取法FFT(简称 DIT - FFT) 】

计算量：

• 完成一次蝶形运算 =  1次复数乘法 + 两次复数加法；
• 计算1个N点DFT    =  2个N/2点DFT +   N/2个蝶形运算。
• 计算一个N/2点DFT  = (N/2)^2次复数乘法   +  (N/2)(N/2 - 1)次复数加法
• 可见，一次分解，运算量将近一半

这里附一段大神的解释【更正了其中的一些小错误】：

• 第一级，每个蝶形的两节点“距离”为1，第二级每个蝶形的两节点“距离”为2，第三级为4，第四级为8【参考上图去理解】
• 由此推得，第m级蝶形运算，每个蝶形的两节点“距离”  为 Length = 2^(m-1)

• 对于16级DIT_FFT，第一级有8组蝶形，每组一个蝶形；第二级有4个蝶形，每组两个蝶形；第三级有2个蝶形，每组四个蝶形；第四级有1个蝶形，每组有8个蝶形。

• 旋转因子W^k_N的确定
• 以16点FFT为列，第m级第k个旋转因子为, k = 0, 1, ... ,2^m-1, 即m级共有2^m-1个旋转因子。
• 根据旋转因子的可约性，，所以第m级第k个旋转因子为

并且，这位大神提出，为提高FFT的运算速度，我们可以建立一个旋转因子数组，然后通过查表法实现。【实际上并不实用，仅适用于确定点数且不 再修改的条件下】

//complex WN[N_series] = //旋转因子数组
{//为节省CPU计算时间，旋转因子采用查表法处理
 // ★ 根据实际FFT的点数N_series，该表数据需自行修改
 // 以下结果通过Excel自动生成
 // WN[k].real =  cos(2*PI/N*k);
 // WN[k].img  = -sin(2*PI/N*k);

}

【 16点 频域抽取法FFT(简称 DIF - FFT) 】

3.实现