阿基米德和刘徽是如何计算圆周率的（四）

三十度角的余切值是 3的算术平方根， 大于 265/153 ; 余割值是 2;

上一步计算了十五度角的余切值，就是上面两个数字相加，大于 517/153; 余割大于517/153平方后，加一，再开方，大于591又1/8比153。

古人的分数运算，实在看起来不方便。今人习惯小数，就用小数显示一下阿基米德的运算过程。

阿基米德的运算过程

外切的计算中，重点是关注余切值，阿基米德计算到外切正96边形（中心角的一半为1.875度），

不断取半角运算

最后一个角度的余切值大于 4673.5/ 153，也就是上图中的OA/AF。

那么，AF/OA 小于 153/4673.5

而96边形的边长是AF的2倍，周长是AF的192倍;

圆的直径是OA的2倍。

从而，（圆的周长/圆的直径） 小于 （外切96边形周长/圆圈的直径），即小于

(153 * 2 *96 )/ (4673.5 *2 ) = 29376/9347  约 3.1428266

值得注意的是，阿基米德再次为 29376/9347这样的分数找了一个更合理的上限

22/7 约3.142857，把上面那个分数再放大一点点，反而得到更加简洁的表示。两个分数的前4位一样。最初的时候，给出根号3的上限，也是 4 位的精度，所以，这里依然保持4位一致，是合理的。因为不能指望用4位精度的根号3计算更多精度的圆周率。

至此，阿基米德完成了他工作的一半，证明了圆周率小于 22/7

22/7这个数值，以其精简，两位10进制小数的精度，赢得了很多人的喜欢，中国祖冲之的给出的约率也是这个数字。祖冲之给出的密率更是让人感到不可思议。古人处理分数方面有及其高超的技巧。上面计算过程中，7.5度的余割值，精简为大于 1172又1/8比153。

刘徽的运算，同样有高超的数值处理技巧。