CFG文法及左递归的消除——编译原理

只是在写消除左递归时的对一些基本概念进行描述，书上内容，学艺不精，没说明白-_-||
  emm，还好对这个内容重新看了一下，不然都没有发现我代码中的逻辑错误

1、上下文无关文法

（1） 上下文无关文法（CFG，Context Free Grammar）

顾名思义就是与上下文无关，不考虑上下文的语境，可以将它单独拿出进行分析、解释。

（2）上下文无关文法包含的四个部分：

一组非终结符（V_N）、一组终结符号（V_T）、一组产生式（P）、一个开始符号（S）。

例：G1=（V_N，V_T，P，S）
其中：V_N={E}，V_T={i，+，*}，S=E，P={E->i，E->E+E，E->E*E}

如果产生式有共同的左部，如$\alpha$->$\beta$，$\alpha$->$\gamma$，可简写为$\alpha$->$\beta$|$\gamma$，其中$\beta$，$\gamma$分别称为$\alpha$的一个候选式

将上面的产生式写成E->i|E+E|E*E的形式，最后可转换为E->i+i|i*i

1. 终结符（Terminator）：是组成语言的基本符号。顾名思义就是到了结尾的符号，是不可再分的具有独立意义的基本符号。（emm，说白了就是不能继续进行替换的符号，如例中最后的形式，i即为终结符）
2. 非终结符（Nonterminal）：用来表示语法范畴，如表达式、函数。（还可以继续进行替换的符号，如最后的E->i+i，可以用E表示加法和乘法）
3. 产生式（production）：所谓产生式是定义语法范畴的一种书写规则。也被称为重写规则，可以用一个符号串替换另一个符号串。（如E->i，E->E+E；E可以用i和E+E进行替换）
4. 开始符号（start）：特别的非终结符，代表所定义的语言中的最终的语法范畴。

（3）上下文无关文法的定义

文法G是一个四元组，G=（V_N，V_T，P，S），其中V_N，V_T分别是非空有限的非终结符号集合终结符号集，V_N $\bigcap$ V_T = $\varnothing$，P是产生式集，S$\in$V_N称为文法的识别符号或开始符号。开始符号S必须在某个产生式的左部出现一次。

2、递归

（1）递归产生式:

形如：
A->xAy， x,y$\in$(V_T$\bigcup$V_N)^*,A$\in$V~N
的产生式称为递归产生式

（2）左递归产生式

1. 直接左递归

在递归产生式的基础上，若x = $\epsilon$（即候选式的第一个字符与开始符号相同，进行替换时，右边确定为y，左边则是一个A的递归），有
A->Ay
这个称为直接递归产生式

2. 间接左递归

间接左递归：每一条产生式都不是直接左递归，但经过多次推导可以得出直接左递归，则为间接左递归
例：
A->Bb
B->A|a
替换后：A->Ab|ab

（3）右递归产生式

1. 直接右递归

在递归产生式的基础上，若y = $\epsilon$（即候选式的最后一个字符与开始符号相同，进行替换时，左边确定为x，右边则是一个A的递归），有
A->xA
这个称为直接右递归产生式

2. 间接右递归

3、消除直接左递归

（1）方法
直接改写法

U -> Ux | y
U -> yU’
U’ -> xU’ | $\epsilon$

（2）例

A -> [B
B -> X] | BA
X -> Xa|Xb|a|b

消除后结果

A -> [B
B -> X]B’
B’ -> AB’ | $\epsilon$
X -> aX’ | bX’
X’ -> aX’ | bX’ | $\epsilon$

4、消除间接左递归

（1）方法

1、将文法G的所有非终结符整理成某一顺序U₁，U₂…，U_n
2、开始符号从后往前走

for（ i : 1 到 n）

for（j : 1 到 i - 1）

将产生式U_i -> U_jα₁ | U_jα₂…替换为
Ui -> β₁α₁ | β₁α₂ | β₂α₁ | β₂α₂ | … | β_mα₂
（其中U_j -> β₁ | β₂ | … | β_m）

（2）例

A -> Bcd
B -> Ce | f
C -> Ab | c

分析：

开始符号为A、B；从后往前，故U₁ = C，U₂ = B，U₃=A
i = 2，j = 1时：

U₂ -> U₁α
将B -> Ce | f 替换为 B -> Abe | ce | f
U₁为C，α₁为Ab，α₂为c； 含有开始符号除去后为α
U₂为B，β₁为Ce，β₂为f； Uj的候选式即为β
将α与β组合 再加上 不含U1的部分（f），即Abe | ce | f

B -> Abe | ce | f
i = 3，j = 2

U₃ -> U₂α
将A -> Bcd 替换为 A -> Abecd | cecd | fcd
U₃为A，α为Bcd；
U₂为B，β₁为Abe，β₂为ce，β₂为f；
将α与β组合，即Abecd | cecd | fcd

消除后结果

A -> Abecd | cecd | fcd

5、代码实现

编译原理-左递归的消除-QT/C++