矩阵简介
矩阵(Matrix)可以看作一个二维数组，就是一个有n行m列的填满数的数字阵。一个矩阵可以写作：
A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2…………a1ma2m⋮anm⎞⎠⎟⎟⎟⎟
关于矩阵论的最基础理论可以参考1，这本书从需要的基础知识讲起，通过线性方程和向量空间、线性无关组、包和维度、矩阵的秩等概念逐步深入矩阵理论，之后引出行列式的计算与构造。在第三章还给出了近世代数的一些基本概念。对与OI来说，这本书的内容（从知识上）应该已经足够。
求解线性方程
通过直观的高斯消元法可以在O(n3)的时间复杂度内求解含有n个方程的方程组。本质的说，这是一个解空间的过程，也就是求解标准基下的一个向量再矩阵所代表的基下的解。也就是说，我们可以通过方程组建立模型来解决一些问题。
bzoj1013球形空间产生器
题意：给你n+1个n维空间中的点，求他们所在的球的球心。
我们大概都还记得平面上不同线的三点确定一个圆。这是为什么呢？设三点坐标为(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)，圆心坐标(x,y)，半径为r，那么有：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(x0−x)2+(y0−y)2=r2(x1−x)2+(y1−y)2=r2(x2−x)2+(y2−y)2=r2
也就是：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x20−2xx0+x2+y20−2yy0+y20=r2x21−2xx1+x2+y21−2yy1+y21=r2x22−2xx2+x2+y22−2yy2+y22=r2
由于r2和x2很不优雅，我们通过(2)−(1),(3)−(2)得到两组新方程，不难发现其为线性方程组。C为常数，这里省略不写。
{2(x0−x1)x+2(y0−y1)y=C12(x0−x2)x+2(y0−y2)y=C1
当且仅当∣∣2(x0−x1)2(y0−y1) 2(x0−x2)2(y0−y2)∣∣≠0时，方程有唯一解。用高斯消元可以O(n3)解出。发现其恰好为三点不共线的条件（从叉积考虑）。
n和n+1只要仿照这里就可以了。
#include 求解带环dp
当dp方程并不满足最优子结构，即构成的决策图上有环时，如果决策会收敛（比如概率的指数衰减可以收敛），那么可以通过列方程求解。
HNOI2013 游走
一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。
N≤500
思路与解： 我们考虑用一个转移方程描述这个问题。设f(i)为从1到i的期望走过每一条边次数构成的向量(l(E1),l(E2),…,l(Em))，则方程为：
f(1)=(0,0,0,…,0)f(i)=∑j→i(…,(j→i)+1dj,…)
解出该方程f(n)之后贪心的编号即可。然而我们的矩阵方程是n×n2的，可以被卡到O(n4)。一个解决方法是将f写在矩阵一边，l写在另一边，如果用快速矩阵乘法的奥义可以优化到O(n3+T(n×n,n×n2))，应该可以通过此题！
然而我们显然不能随手写出O(nω)的矩阵乘法…因此考虑更换思路，设h(i)为期望经过节点i的次数，则可以列出以下方程：
h(1)=1h(n)=0h(i)=∑j→i1djh(j)
h(n)=0是为了防止对其他节点产生影响。求解完之后每条边i→j的期望经过次数就是1dih(i)+1djh(j)，复杂度成功的降到了O(n3)。
返回来看我们一开始的思路，其有大量优化余地的原因是右侧矩阵虽然是O(n×n2)的，但最多只有O(n2)个元素。因此我们可以不再维护和这个点对无关的边的信息，转而维护点的性质，从而解决了这个问题。
#include Usaco2010 Hot Dotp驱赶猪猡
给定一个无向图，炸弹从1号点出发，每个时刻有P/Q的概率爆炸，如果没有爆炸，就会等概率沿着随机一条出边走到下一个城市，求最终每个城市的爆炸概率。
n≤300
思路与解： 我们设f(i)为i时刻炸弹停留再每个城市概率形成的向量，容易构造一个n×n的转移矩阵A，使得
Af(i)=f(i+1)
我们考虑最终答案ans，有
ans=PQ∑i=0∞Aif(1)
由于我们知道答案随i指数收敛，因此必然有
∑i=0∞Ai=II−A
也就是无限递减几何级数。
然后只要求解矩阵方程：
(I−A)×ans=PQf(1)
嘴巴AC而已
行列式与Matrix_Tree定理
行列式是个奇怪的东西。它可以用许多方式定义，也有着丰富的应用，并且从每个应用都能引出对其的一种定义。矩阵树定理告诉我们：一个图的生成树个数等于其度数矩阵减去邻接矩阵，关于任一一个元素的余子式的绝对值。
bzoj4031 小Z的房间
Description
你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input
第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是.或者*，其中.代表房间，*代表柱子。
Output
一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9
思路与解： 裸题。随手A？？
并不..注意到模数并不是素数，不能简单的用逆元表示除法。
我们需要一个被称为“模意义下行列式”的神奇方法。具体来说就是利用辗转相除的思路消元。辗转相除的过程中我们可以把a,b→b,a mod b最终将b消成0，这里只需要模拟这个过程就可以了。可以参考2。
注意在消元的过程中只能严格的用两种初等变换，即
- 交换两行
- 将一行乘以常数，加到另一行
// heoi2015 小z的房间
#include 逆矩阵
我们知道非奇异n阶矩阵和矩阵乘法构成一群，也就是说每个元素都有逆元。考虑如何求解逆矩阵。使用Gauss-Jordan方法，即对矩阵[A|I]运用消元，将A变成单位矩阵，则右侧矩阵就是其逆矩阵。
bzoj4128 Matrix
对于非奇异矩阵A，B和一质数p，求满足
Ax≡B(mod p)
的最小的x。
思路与解：一眼的BSGS。就是设s=p√，我们对于i∈[0,s)暴力计算并丢进哈希表，对于x≥s，它必然可以唯一确定的写成ls+r的形式且r<s(也就是带余除法)。我们只要枚举l，计算Als并查表即可。
然而这题卡常数…我每次循环使用三次乘法果断gg…使用有理有据的底层优化才能AC..
#include bzoj3168钙铁锌硒维生素
留一个坑。大概思路就是求是否存在一组非零向量使其通过A线性组合出一组向量。放在矩阵里一起处理即可。
线性基
就是对一个自然数集合S找一个最小的的集合R，使得∀x∈S,∃c,Rc1⊕Rc2…Rc|c|=x。
由于异或可以看成模2意义下的加法，线性基其实是S对应向量空间的极大线性无关组。由于矩阵行秩等于列秩，线性基中元素只有O(lgn)个
如何构造一个线性基？只要在线的加入即可。注意逐位考虑。O(lgRmax)
bool add(long long num)
{
for (int i = 1; i <= tp; i++) {
if ((num^k[i]) < num && (num^k[i]) < k[i])
num ^= k[i];
}
if (num != 0) {
k[++tp] = num;
for (int i = tp; i-1 && k[i-1] < num; i--)
swap(k[i-1], k[i]);
return 1;
}
return 0;
}2460: [BeiJing2011]元素
线性基裸题，只要贪心加入即可。
证明？由于不会有不相交的线性无关组，考虑两个序列，容易说明贪心策略不劣于任何策略。
#include [Scoi2016]幸运数字
问树上路径走过的元素形成的集合的最大异或值。
思路与解： 由于所有元素的异或值和线性基的异或值等价，且线性基合并是满足结合律的，我们只要用树上倍增维护线性基合并即可。注意判断a=b。
#include if (a == b) return lb;
for (int i = 15; i >= 0; i--)
if (fa[a][i] != fa[b][i]) {
lb = lb + f[a][i] + f[b][i];
a = fa[a][i], b = fa[b][i];
}
if (a != b) lb = lb + f[a][0] + f[b][0];
return lb;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &q);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]), f[i][0].push(a[i]);
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
push(u, v), push(v, u);
}
dfs(1);
for (int j = 1; j < 16; j++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];
for (int j = 1; j < 16; j++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i][j] = f[i][j-1]+f[fa[i][j-1]][j-1];
for (int i = 1; i <= q; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
if (u == v) printf("%lld\n", a[u]);
else printf("%lld\n", lca(u, v).max());
}
return 0;
} 线性齐次递推
我们考虑一个递推式f(n)=∑mi=1aif(n−i)，我们希望在更快的速度内完成计算。考虑用矩阵，我们发现：
A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11100⋮0a12010⋮0a13001⋮0a14000⋮0………………a1m−1000⋮1a1m000⋮0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
h(n)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜f(n)f(n−1)f(n−2)⋮f(n−m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
则有
Ah(n)=h(n+1)
由于矩阵乘法满足结合律，可以用快速幂计算。
[HNOI2008]GT考试
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0≤Xi≤9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0≤Ai≤9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0。
思路与解： 一个数位dp的套路，dp[i][j]表示还剩i位，匹配到第j位的方案数，则dp[i][j]=∑j→idp[i−1][k]。转移可以O(n)用kmp搞出来。然后就是矩阵乘起来了。
#include [HNOI2011]数学作业
给定n和m，求：
1234567891011...n mod m
思路与解： 可以不同位数分开考虑。考虑第k位上的情况：
f(i)=10if(i−1)+i
由于要记录i的信息，我们要扩充状态表示：
h(n)=⎛⎝⎜⎜⎜f(i)f(i−1)i+11⎞⎠⎟⎟⎟
可以构造矩阵：
A=⎛⎝⎜⎜⎜10k100000010100011⎞⎠⎟⎟⎟
即可。注意取模的技巧..否则会RE+WA+MLE.
#include 参考资料3
- 《代数学引论I(BA I)》，前苏联-柯斯特利金著，张英伯译，高等教育出版社 ↩
- http://blog.csdn.net/u013010295/article/details/47451451 ↩
- 某集训，妹主席ppt ↩