最小割树(Gomory-Hu Tree)
前置知识
Gomory-Hu Tree是用来解决无向图最小割的问题的，所以我们需要了解无向图最小割的定义
和有向图类似，无向图上两点(x,y)的割定义为一个边集E，满足去掉该边集后x,y不联通。最小割即为所有的割中权值之和最小的割
通过这条割我们把点集划为两个部分，x所在的一个记为\(V_x\),y所在的一个记为\(V_y\)
定义
首先我们知道，一个n个点的无向图上，两点之间本质不同的最小割只有n-1种，因此一定存在一棵树，满足树上两点的最小割等于原图上两点的最小割。
最小割树的定义如下：
定义一棵树T为最小割树，如果对于树上的所有边(s,t)，树上去掉(s,t)后产生的两个集合恰好是原图上(s,t)的最小割把原图分成的两个集合，且边(u,v)的权值等于原图上(u,v)的最小割
很多博客里把Gomory-Hu树定义为树上边(u,v)的权值=图上(u,v)的最小割，而忽视了删掉边(u,v)后点集的关系，是错误的。那是等价流树(Equivalent Flow Tree)的定义。如果最小割树不是像上面一样定义的，那么下面的最小割树的性质定理就无法证明
原图上u,v两点最小割就是最小割树上u到v的路径上权值最小的边
最小割树的构造
根据定义：树上去掉(s,t)后产生的两个集合恰好是原图上(s,t)的最小割把原图分成的两个集合。
我们可以直接按定义构造最小割树
最小割树的构造是递归实现的。
在当前点集随意选取两个点u,v，在原图上跑出他们之间的最小割，然后就在树上连一条从u到v,权值为\(\lambda(u,v)\)的边。
然后找出u,v分属的两个点集，对这两个点集递归进行操作。当点集中的点只剩一个的时候停止递归
时间复杂度\(O(n^3m)\)，但很难卡满（实际上就是跑了n次dinic)
int node[maxv];//node[i]里面存储点的编号
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];//任选两个点
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
//考虑dinic算法中的最后一次bfs,因为现在残量网络上s到达不了t,所以bfs访问到的点就是s所在的点集，它们的deep不0
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}最小割树的查询
最小割树满足一个重要的性质：
原图上u,v两点最小割就是最小割树上u到v的路径上权值最小的边
因此我们直接对建出的最小割树进行树上倍增即可
该性质的正确性证明见下方
正确性证明
为了下文描述方便，我们定义\(\lambda (a,b)\)表示a,b的最小割的权值
引理1 对于任意\(p \in V_x,q \in V_y\)，有$\lambda(x,y) \geq \lambda(p,q) $
证明：
假设$\lambda(x,y) < \lambda(p,q) $,那么用割断(x,y)的代价割不断(p,q),而p与x联通，p与y联通，那么(x,y)就割不断了，这与最小割的定义矛盾，因此引理成立。
定理1 :对于任意不同的三点\(a,b,c\), \(\lambda(a,b) \geq min(\lambda(a,c),\lambda(c,b))\)
证明：考虑\(\lambda(a,b) \ , \lambda(a,c)\ ,\lambda(c,b)\)中最小的一对，不妨设为\(\lambda(a,b)\)
再讨论c在删掉(a,b)的割边之后与a联通还是与b联通，不妨设为与b，另一种同理。由引理1：\(\lambda(a,c) \leq \lambda(a,b)\)
又因为我们之前假设过\(\lambda(a,b)\)是最小的，因此\(\lambda(a,c) \geq \lambda(a,b)\),所以\(\lambda(a,c)=\lambda(a,b)\)
因此\(\lambda(a,b) \ , \lambda(a,c)\ ,\lambda(c,b)\)中一定有两个较小值，一个较大值。
若\(\lambda(a,b)\)是小的，则\(\lambda(a,c),\lambda(c,b)\)中一个较大的,一个较小的，取min之后还是较小值，定理显然成立
若\(\lambda(a,b)\)是大的，则\(\lambda(a,c),\lambda(c,b)\)均是较小值，定理显然成立
定理1的推论 对于任意不同的两点u,v, \(\lambda(u,v) \geq min(\lambda(u,w_1),\lambda(w_1,w_2),\lambda(w_2,w_3) \dots , \lambda(w_k,v))\)
定理2 对于任意不同的两点x,y,令p,q为最小割树x到y路径上的两点，且\(\lambda(p,q)\)最小，那么\(\lambda(p,q)=\lambda(x,y)\).也就是说，u,v两点最小割就是最小割树上u到v的路径上权值最小的边
由定理1的推论可知\(\lambda(x,y) \geq \lambda(p,q)\)
又根据最小割树的定义，x,y在p,q最小割的两侧，则\(\lambda(p,q) \geq \lambda(x,y)\)
因此\(\lambda(x,y)=\lambda(p,q)\)
题目
首先是模板
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4897
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 505
#define maxe 1505
#define maxlogv 10
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int flow;
}E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t){
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queueq;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow){
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf){
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow){
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init(){
for(int i=2;i<=sz;i+=2){
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t){
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)){
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int len;
}E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa){
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1;i<=log2n;i++){
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa){
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work(){
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
build(1,n);
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y){
int ans=INF;
if(deep[x]=0;i--){
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
int main(){
int u,v,w;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
scanf("%d %d",&u,&v);
int ans=mincut_tree::query(u,v);
if(ans==INF) ans=-1;
printf("%d\n",ans);
}
}
以及两道例题
[CQOI2016]不同的最小割
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4123
先建出最小割树，然后枚举所有点对，将求出的最小割值存入一个STL set
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 855
#define maxe 8505
#define maxlogv 15
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int flow;
}E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t){
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queueq;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow){
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf){
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow){
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init(){
for(int i=2;i<=sz;i+=2){
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t){
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)){
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int len;
}E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r){
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l;i<=l+cnt1-1;i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1;i<=r;i++) node[i]=tmp2[i-cnt1-l+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa){
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1;i<=log2n;i++){
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa){
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work(){
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;
build(1,n);
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y){
int ans=INF;
if(deep[x]=0;i--){
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n;i>=0;i--){
if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
setS;
int main(){
int u,v,w;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
S.insert(mincut_tree::query(i,j));
}
}
printf("%d\n",S.size());
}
[ZJOI2011]最小割
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4123
先建出最小割树，然后枚举所有点对，将求出的最小割值排序，然后二分查找就可以了
//BZOJ 2229
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxv 155
#define maxe 3005
#define maxlogv 10
using namespace std;
int n,m,q;
namespace network_flow {
struct edge {
int from;
int to;
int next;
int flow;
} E[maxe<<2];
int head[maxv];
int deep[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w) {
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].flow=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].flow=0;
head[v]=sz;
}
bool bfs(int s,int t) {
memset(deep,0,sizeof(deep));
deep[s]=1;
queueq;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(!deep[y]&&E[i].flow) {
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
return deep[t]!=0;
}
int dfs(int x,int t,int minf) {
if(x==t) return minf;
int k,rest=minf;
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(deep[y]==deep[x]+1&&E[i].flow) {
k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
rest-=k;
E[i].flow-=k;
E[i^1].flow+=k;
if(k==0) deep[y]=0;
if(rest==0) break;
}
}
return minf-rest;
}
void init() {
for(int i=2; i<=sz; i+=2) {
E[i].flow=(E[i].flow+E[i^1].flow);
E[i^1].flow=0;
}
}
int dinic(int s,int t) {
init();
int ans=0,now=0;
while(bfs(s,t)) {
while(now=dfs(s,t,INF)) ans+=now;
}
return ans;
}
}
namespace mincut_tree {
struct edge {
int from;
int to;
int next;
int len;
} E[maxv<<1];
int head[maxv];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,int w) {
// printf("tree: %d->%d len=%d\n",u,v,w);
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
E[sz].len=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
E[sz].len=w;
head[v]=sz;
}
int node[maxv];
int tmp1[maxv],tmp2[maxv];
void build(int l,int r) {
if(l==r) return;
int s=node[l],t=node[l+1];
int cut=network_flow::dinic(s,t);
add_edge(s,t,cut);
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=l; i<=r; i++) {
if(network_flow::deep[node[i]]) tmp1[++cnt1]=node[i];
else tmp2[++cnt2]=node[i];
}
for(int i=l; i<=l+cnt1-1; i++) node[i]=tmp1[i-l+1];
for(int i=l+cnt1; i<=r; i++) node[i]=tmp2[i-l-cnt1+1];
build(l,l+cnt1-1);
build(l+cnt1,r);
}
int log2n;
int deep[maxv];
int anc[maxv][maxlogv];
int minl[maxv][maxlogv];
void dfs(int x,int fa) {
// printf("dfs on %d\n",x);
deep[x]=deep[fa]+1;
for(int i=1; i<=log2n; i++) {
anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
minl[x][i]=min(minl[x][i-1],minl[anc[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa) {
anc[y][0]=x;
minl[y][0]=E[i].len;
dfs(y,x);
}
}
}
void work() {
sz=1;
memset(E,0,sizeof(E));
memset(head,0,sizeof(head));
log2n=log2(n)+1;
for(int i=1; i<=n; i++) node[i]=i;
memset(deep,0,sizeof(deep));
memset(anc,0,sizeof(anc));
memset(minl,0,sizeof(minl));
build(1,n);
// printf("buildok");
dfs(1,0);
}
int query(int x,int y) {
int ans=INF;
if(deep[x]=0; i--) {
if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]) {
ans=min(ans,minl[x][i]);
x=anc[x][i];
}
}
if(x==y) return ans;
for(int i=log2n; i>=0; i--) {
if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
ans=min(ans,minl[x][i]);
ans=min(ans,minl[y][i]);
x=anc[x][i];
y=anc[y][i];
}
}
ans=min(ans,minl[x][0]);
ans=min(ans,minl[y][0]);
return ans;
}
}
int cases;
int pc;
int ans[maxv*maxv/2];
int main() {
#ifdef FILE_IO
freopen("1.in","r",stdin);
#endif
int u,v,w;
scanf("%d",&cases);
while(cases--) {
memset(network_flow::head,0,sizeof(network_flow::head));
memset(network_flow::E,0,sizeof(network_flow::E));
network_flow::sz=1;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
network_flow::add_edge(u,v,w);
network_flow::add_edge(v,u,w);
}
mincut_tree::work();
pc=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
ans[++pc]=mincut_tree::query(i,j);
}
}
sort(ans+1,ans+1+pc);
scanf("%d",&q);
for(int i=1; i<=q; i++) {
scanf("%d",&w);
printf("%d\n",upper_bound(ans+1,ans+1+pc,w)-ans-1);
}
printf("\n");
}
}