已知校验矩阵（监督矩阵）或生成矩阵G怎样生成所有可能码字

最近几天重新复习了有关信息编码的知识，首先跟大家推荐两本书吧。

《数字通信原理与技术》（北京邮电出版社的）

《ldpc原理与应用》

首先先搞清几个概念。

1.什么是分组码？

每个码组的监督码元仅与该码组的信息码元有关，而与其他码组的信息码元无关，这类码称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。

编码效率R=k/n，k是信息位，n-k是监督位，R越大，信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高。所以，R说明了分组码传输信息的有效性。d0表示最小码距。d0越大，则从一个码组错为另一个码组的可能性越小，因而检错、纠错能力也就越强。

d0表示最小码距。d0越大，则从一个码组错为另一个码组的可能性越小，因而检错、纠错能力也就越强。

如果码组集合中码组间的最小码距满足：

                                  d0>=e+1

则该码集中的码组具有检测e位错码的能力。

如果d0>=2t+1,则该码集中的码组具有纠正t个错码的能力。

如果d0>=t+e+1（e>t），则该码集中的码组具有纠正t个错码，并检测e个错码的能力。

 

2.什么是线性码？

线性码中的信息位和监督位是由线性代数方程联系着的。或者说，线性码是按一组线性方程构成的。

 

3.监督矩阵（或者校验矩阵）H到底表示什么？

H表示的是监督位和信息位之间的关系，只要H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了，H的行数就是监督位的数目r。H的每行中1的位置表示相应码元之间存在的监督关系。例如，H的第一行1110100表示监督位a2是由a6a5a4之和决定的。

 

图传不上去，好气。

下面直接附上我用Python写的代码

已知生成矩阵G，求所有可能生成的码字：

import numpy as np
N=7
K=4

G=np.array([[1,0,0,0,1,1,1],
            [0,1,0,0,1,1,0],
            [0,0,1,0,1,0,1],
            [0,0,0,1,0,1,1]])

b=[]   #0000~1111的二进制数
for i in range(16):
    a=format(i,'b')
    b.append("{:0>4s}".format(a))

v=np.zeros((16,4))
for i in range(16):
    v[i]=b[i]
    for j in range(4):
        v[i][j]=b[i][j] #v是从0000~1111的矩阵
#print(v)
v_=(np.dot(v,G))%2
#print(v_)
#print(v_[1][:4])

for o in range(16):
    if np.all(v_[o][:4]==v[o]):
        print(v_[o])

已知校验矩阵H，求所有可能生成的码字：

import numpy as np
N=63
K=45

H=np.array([[ 0,0,1,0,0,0,0,0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0, 1, 1, 0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1 ,0 ,1 ,1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0 ,0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ,1 ,1 ,0, 0, 1, 0 ,0 ,1, 1, 1, 1 ,1 ,0 ,0 ,1, 1, 0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1, 0, 0, 1, 1, 1, 1 ,1 ,0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1 ,0 ,1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0, 0 ,0 ,0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0 ,1, 0, 0, 0 ,0 ,0, 1, 1, 0, 0, 1, 0 ,0, 1, 1, 1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0 ,0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0 ,0 ,1 ,0 ,0, 0, 0, 0, 1, 1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ,0 ,0, 1, 1 ,0 ,0 ,1, 1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0, 0, 0 ,1, 1, 0, 0, 1, 0, 0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0, 1, 1, 0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ,1 ,0 ,0, 1, 1, 0, 0 ,1 ,0 ,0 ,0, 0, 0, 1, 1, 0, 0 ,1 ,0 ,0, 1, 1 ,1 ,1 ,1, 0, 0 ,1 ,1, 0, 1 ,0 ,0 ,1, 0, 1 ,0 ,1, 1, 1, 1 ,0, 0, 1 ,1 ,0 ,0, 0 ,0 ,0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ,0 ,0, 1, 1, 0, 0 ,1 ,1 ,0 ,0, 1, 0 ,0, 0, 0 ,0 ,1, 1, 0, 0 ,1 ,0 ,0, 1 ,1 ,1, 1, 1 ,0, 0 ,1 ,1 ,0, 1 ,0 ,0, 1, 0 ,1 ,0 ,1 ,1, 1, 1 ,0 ,0 ,1, 1, 0 ,0 ,0, 0, 0 ,0],
[0, 0, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,0, 0, 0 ,0 ,0, 1 ,1 ,0, 0 ,1, 1, 0 ,0 ,1 ,0, 0 ,0 ,0, 0 ,1, 1, 0, 0 ,1 ,0, 0 ,1 ,1 ,1, 1, 1 ,0 ,0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0, 1 ,1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0, 0, 1, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0, 1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1, 1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1 ,1 ,0 ,0 ,0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1, 0, 0 ,1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0, 1, 1, 0, 0, 1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0, 1 ,0 ,0 ,1 ,1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ,1, 0, 0, 1, 1, 0],
[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 1 ,1 ,0, 0, 1 ,0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1 ,1 ,1 ,0 ,0, 1 ,1]])

b=[]
for i in range(2**N):
    a=format(i,'b')
    b.append("{:0>63s}".format(a))

v=np.zeros((2**N,N))
for i in range(2**N):
    v[i]=b[i]
    for j in range(N):
        v[i][j]=b[i][j] #v是0000000~1111111

w=np.zeros((1,N-K))
for o in range(2**N):
    if np.all(np.dot(v[o],H.T)%2==w):
        print(v[o])

上面的这个校验矩阵是从网上找的BCH（63，45）的校验矩阵。

这个代码的逻辑是码字[a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0]=[a6 a5 a4 a3]×G，所以[a6 a5 a4 a3]只要从0000~1111,找出满足这个等式关系的所有码字即可。

而已知H也是一样。因为H×[a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0].T=0即可，.T在Python中表示转置。

我的目标是生成一堆LDPC的码字，然后根据论文《On Deep Learning-Based Channel Decoding》去改进，将原来的polar码改为LDPC码，看看性能有没有提高。