CODE学习笔记二——用加法器实现二进制减法

做减法实际上也可以列出一个减法表

减	0	1
0	0	1
1	1	0

（异或门）

借位	0	1
0	0	0
1	1	0

（对被减数加个反向器 再与减数连个与门）
如此而来也可以一步步搭建出全减器，但如果全减器与全加器的构造法类似，从低位开始减，那么被减数小的时候便会一直向高位借位直到借完为止，如此显然不行。全减器的电路应是另一种构造，但不是本文所讨论的。
CODE以及一般计算机组成中通过使用加法实现减法。

目录

负数的表示

在讨论减法之前，我们得先探讨一下不使用负号，二进制中负数该如何表示？

一种方法是在每个数据前加一位“符号位”，但是数据量一大时，这样的储存方式就会显得臃肿，甚至在某些情况下（比如正负数相加时）带来很大的不方便。

另一种方法则是确定数据的范围，用上溢的正数代替负数。
-以八位二进制数为例-

二进制数	十进制数	二进制数	十进制数
10000000	-128	00000000	0
10000001	-127	00000001	1
……	……	……	……
11111110	-2	01111110	126
11111111	-1	01111111	127

在之后的学习中我们会看到，这种表示将会为我们带来极大的便利

用加法做减法

补数

一个巧妙的方法是利用补数，补数即使该数每一位取到最大值与该数的差，例如：
100在十进制下的补数就是899（999-100=899）
100在二进制下的补数就是011 （111-100=011）
又是由于二进制的神奇特性，二进制数的补数其实就是按位取反！！！

利用补数做减法

那么仅看相应的位数我们可以得出这样的等式
被减数-减数 = 差 “=” 被减数+减数的补数+1-“1max”
如 253-176 = 77 = 253 + 999 -176 + 1 （-1000）=（10）77（-1000）=77

而当遇到减数更大的情况时，比如
176-253 = -77 = 176+999-253+1（-1000） = 923（-1000）=-77
等式仍然成立；

确实，所谓的用加法实现减法从理论上看并没有完全放弃减法，只是把减法限定为了-1000或者说-1max。但是在真正的实现过程中，-1000确确实实被省略了，这多出来的1作为符号位表示上下溢，如此达到了加法器做减法的目的。
如上述的两个减法，第一个结果为1077，表示为1（零上）077，第二个结果为0923，表示为0（零下）923，而在计算机二进制中负数的表示并非加个-号即可，我们完全可以通过一定的约定表明0923实际上是-77，而1923才是+923。
比如
之前所讨论的负数表示方法，让我们用二进制再做一次176-523:
10110000（十进制176）- 11111101（十进制253）
= 10110000 + 00000010（按位取反求补）+ 1
= 10110011（对照上表对应的十进制数即为-77）

减法的实现

以下是求补器的实现（每个输入都和取反输入接入异或门）

当取反信号输入为1时，八位输出即为八位输入的补数，取反信号为0时，八位输出不变。封装后如下

改进后的加法器

三个sub表示的是同一个输入，输入为1是表示进行减法运算，输入为0时进行加法运算

又是多说几句

没错，如果使用上述讨论的负数表示法，减法其实可以不再需要，所有的运算都将是加法，所以在计算机的架构中，实际上看不到减法器（即使是上述的伪减法器）的出现。但是多看点总是没有坏处的2333。