数组数组区间修改+区间查询

数组数组区间修改+区间查询

在之前整理树状数组笔记时，已经将单点修改以及区间查询写的很清楚了。树状数组本质上就是一个可以在线 快速查询前缀和，并可以快速更新数值并维护的数据结构。我们喜欢用树状数组是因为其代码简单易记，出错率低，并且效率还不错。

理论推导

如果涉及单点修改、区间查询，那么代码很简单。但是如果是区间修改，就需要做一些改变了。首先进行如下推导：（前置知识：前缀和、差分数组）
假设数组a是存放初始数据，sum存放a数组的前缀和，而b数组为差分数组，即每当为[l,r]位置所有元素+val时，b[l]+= val,b[r] -= val。而sumb为b数组的前缀和数组，这样sumb[i]就存放着a[i]修改值。那么很显然最后a[i]的值为a[i]+sumb[i]，即初始值+修改值。此时再来考察a数组的前缀和，sum[i]存放的是a[1]+a[2]+…+a[i]，（请注意a数组始终未作改变，其改变的值存放在sumb数组中），很显然我们要求的结果(数组a的最终前缀和)
$$ans=sum[i]+\sum _{j=1}^{i}sumb[j]$$
又由于
$$sumb[i]=\sum _{j=1}^{i}b[j]$$
所以
$$ans=sum[i]+\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^{j}b[k]$$

至此我们已经抛弃了sumb这个保存b数组前缀和的数组，ok吗？我们得到的公式是根据一个常量数组sum和一个不断被修改的b数组来求ans的。（注：这里ans为a数组的最终前缀和）
如果上面的公式没有问题，接下来我们的目标就是求b数组的二重和式。 来变形：
$$\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^{j}b[k]=\sum _{j=1}^i(i-j+1)\ast b[j]=(i+1)\sum _{j=1}^{i}b[j]-\sum _{j=1}^{i}j\ast b[j]$$
首先，这个公式变换是常用套路，如果有问题可以自己用矩阵求和来推一下。其次，变换成这个公式的好处是我们只需维护 j * b[j] 的前缀和就可以直接求出a数组修改后的前缀和了。

具体实现：

具体操作是，我们建立两个树状数组c0和c1。其中c0是用来求b[j]前缀和的，而c1是用来求j * b[j]前缀和的。那么对于每个区间修改（为[l,r]上所有数字+val），我们执行4个操作：

1. 在树状数组c0中，把位置l上的数 + val。
2. 在树状数组c0中，把位置r+1上的数 - val。
3. 在树状数组c1中，把位置l上的数 + l* val。
4. 在树状数组c1中，把位置r+1上的数 -（r+1）* val

另外，sum数组存放序列a的原始前缀和。所以每次查询[l,r]前缀和，当然还是拆分成求[1,r]和[1,l-1]的前缀和，二者相减。写成式子如下：
$$(sum[r]+(r+1)\ast ask(c0,r)-ask(c1,r))-(sum[l-1]+l\ast ask(c1,l-1)-ask(c1,l-1))$$

代码示例：

这里以POJ3468为例：

#include
const int MAXN = 1e5+10;
typedef long long ll;
ll c[2][MAXN];
ll a[MAXN],sum[MAXN];
int n,m;

void add(int k,int x,int y){
	for(;x <= n;x += x&-x) c[k][x] += y;
}
ll ask(int k,int x){
	ll ans = 0;
	for(;x;x -= x&-x) ans += c[k][x];
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",a+i);
	for(int i = 1;i <= n;i++) sum[i] += sum[i-1] + a[i];
	while(m--){
		char op[10];
		int l,r,val;
		scanf("%s",op);
		if(op[0] == 'C'){
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&val);
			add(0,l,val);
			add(0,r+1,-val);
			add(1,l,l*val);
			add(1,r+1,-(r+1)*val);
		} else{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			ll ans = sum[r] + (r+1)*ask(0,r) - ask(1,r);
			ans -= sum[l-1] + l*ask(0,l-1) - ask(1,l-1);
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

参考书目：

• 《算法竞赛进阶指南》.李煜东.P200