机器学习模型解释性之Shapley Value

机器学习现在是以迅雷不及盗铃之势席卷了几乎所有科技、商业、医疗、生活领域，基于gbdt的各种优化以及ensemble横扫所有数据竞赛，cnn则是霸榜图像领域。看起来，时代已经变了。但，等等，还有一个问题，设想一下，当你的模型用于医疗领域，你用了一个极深的神经网络，然后告诉用户很可能得了癌症，那么，为什么呢？为什么要相信你呢？你是不是应该给出一个合理的解释呢？你该如何给出一个合理的解释呢？（另一个相似的领域大概就是无人车了）

通常对于大多数基于机器学习的项目，我们只注重结果，而不注重可解释性。但人毕竟不是机器，要说服人相信机器比人做的更好，至少在现在这个阶段，解释显得尤为重要。然而，这方面的研究，相比层出不穷的各种花式神经网络连接方式，显然落伍太多。

这里介绍一个机器学习的通用归因算法：shap value

项目git地址：https://github.com/slundberg/shap，深度支持xgboost、lightgbm等火得发烫的模型，目前近900star，可以的。

Shapley value起源于博弈论：n个人合作，创造了v(N)的价值，如何对所创造的价值进行分配。
notation: 全集N={x1,x2,⋯,xn}
有n个元素xi，任意多个人形成的子集S⊆N，有v(S)表示S子集中所包括的元素共同合作所产生的价值。最终分配的价值（Shapley Value）ψi(N,v)其实是求累加贡献（marginal contribution）的均值。例如A单独工作产生价值v({A})，后加入B之后共同产生价值v({A,B})，那么B的累加贡献为v({A,B})−v({A})。对于所有能够形成全集N的序列，求其中关于元素xi的累加贡献，然后取均值即可得到xi的Shapley Value值。但枚举所有序列可能性的方式效率不高，注意到累加贡献的计算实际为集合相减，对于同样的集合计算次数过多是效率低下的原因。公式中S表示序列中位于xi前面的元素集合，进而N∖S∖{xi}表示的是位于xi后面的元素集合，而满足只有S集合中的元素位于xi之前的序列总共有|S|!(|N|−|S|−1)!个，其内序列中产生的xi累加贡献都是v(S⋃{xi})−v(S)；最后对所有序列求和之后再取均值。
假设特征全集为F，则有：

求得每一维特征的shapley value值，值越大对目标函数的影响越正向，值越小对目标函数的影响越负向。

API
注意LightGBM中有内嵌的接口，
lightgbm.Booster.predict(data, pred_contrib=True)
Xgboost中也是如此，
xgboost.Booster.predict(data, pred_contribs=False)

复杂度
问题似乎已经解决了，但，让我们来看一下复杂度，外层循环遍历所有可能的特征组合 O(TL2N) O ( T L 2 N ) ，其中T是树的数量，L是最大叶子节点数，N是特征数，下面将要出现的D是树的最大深度，总体来说复杂度是指数级的。。。
于是，在这篇 paper中（https://arxiv.org/pdf/1706.06060.pdf），针对ensemble的树模型提出了一种指数级优化到多项式级的算法，对平衡树复杂度可达 O(TLlog2L) O ( T L l o g 2 L ) ，对非平衡树为 O(TLD2) O ( T L D 2 ) 。

二阶情形
对于树类模型，由于其隐含了特征组合，通常我们还希望知道模型对于二阶组合特征的归因。

如上，二阶shap（i, j）可以看作当feature j是否存在时feature i的shap value 之差，于是所有关于j的二阶组合复杂度为 O(TLD2) O ( T L D 2 ) ，总复杂度达到 O(TMLD2) O ( T M L D 2 ) ，其中M为特征数。
二阶归因在xgboost中也有实现，xgboost.Booster.predict()中参数predict_interactions=True即可，输出矩阵size为(nsample, nfeats + 1, nfeats + 1)，最后一行和最后一列为偏置项。