【高数】如何由解倒求微分方程？及微分方程的阶数、任意常数、特征根的关系
目录
一、问题
二、概念理解
1. 微分方程的阶数
2. 解、通解与阶数
3. 特征方程、特征根
三、解法
四、解题技巧
五、小结
一、问题
疑问：除了题目给出的解足够使用代入法外，有时题目会给出一部分特解，或者是给出不足以建立可解方程的解，那么如何用观察法写出其他解，以及如何倒推方程？解决这些方法上的问题，首先要解决下面两个问题。
微分方程的阶数和解中任意常数个数的关系（本质上是解的结构）？与特征根个数的关系？微分方程与特征方程的关系？
二、概念理解
1. 微分方程的阶数
指微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数。最高阶是几阶导数，整个方程就是几阶。
2. 解、通解与阶数
解：将某函数及其导数代入微分方程，能使其两端成为恒等式。
通解：解中含有独立任意常数，且其个数与微分方程的阶数相同。几个独立任意常数，就是几阶。
特解：不含有任意常数的解。
n阶常系数线性齐次方程，会有n个线性无关的解，被成为基本解组。
3. 特征方程、特征根
特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等。
做题中发现，特征根的个数（一个几重根就算做几个跟）与微分方程阶数相等，特征方程的形式与常系数线性齐次微分方程相同。（一个经验，有待论证。）
特征根的部分内容可能和线性代数有关，放一些可能可以参考的文章链接，后面学到了重新再想下这部分。本文中特征根统一以 r 表示。
《特征根法》：https://baike.baidu.com/item/%E7%89%B9%E5%BE%81%E6%A0%B9%E6%B3%95/363524?fr=aladdin
《高阶线性微分方程的特征方程怎么来的》：https://www.zhihu.com/question/63107405
这个回答解释了为什么特征值 λ 会存在于方程的解中，即 e^λx 结构（其实我还没太理解）。
《【高数】求这个微分方程的特解 三阶的求解》：https://zhidao.baidu.com/question/1309136118014229259.html?fr=iks&word=%C8%FD%BD%D7%CE%A2%B7%D6%B7%BD%B3%CC%CC%D8%D5%F7%B7%BD%B3%CC&ie=gbk
不用掌握三阶的解的求法，只用体会特征方程和微分方程的关系，即已知特征根如何写出微分方程。
三、解法
从针对某一类型的微分方程，讲到适用范围较广的方法。大致分为以下几类，分类方法在做题及看文章中归纳出的，可能也不完备。末尾放两篇文章，总结得很好，互为补充。
1. 常系数（任意阶）线性齐次→倒推法
由通解或特解，得到特征根 r ，可由 r 的方程得微分方程。
《微分方程的解如何得到特征值》：https://zhidao.baidu.com/question/1452843477123266460.html?qbl=relate_question_4
一道例题，过程讲解很详细！
2. n阶线性齐次→行列式法
3. 已知形式的二阶线性非齐次→特解代入法
（1）形式 y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)，已知两线性无关特解y1*，y2*
特解代入，求出 p(x)、q(x)，回代方程。
（2）常系数，已知f(x)形式和一特解 y*，如 y'' + α y' + β = γ e^x
特解代入，求出常数α、β、γ，回代方程。
4. 知通解但未必线性→消C法
（1）一个任意常数C，则是一阶方程：
通解 y=...，求导 y' =...，联立方程组，消去C（用 y' 求出C后代入 y=...），得一阶方程。
（2）两个任意常数C1、C2，则是二阶方程：
通解 y=...，求导 y'=...，y''=...，用y'、y'' 求出C1、C2，代入 y=...，得二阶方程。
注：若不知通解，只知两线性无关特解y1*、y2*，则可写出通解 y=y1*+y2*再做。
5. 常系数线性非齐次→综合法
先由倒推法、消C法等，求对应齐次方程的常系数。再将特解代入设定的对应非齐次方程，求出f(x)。
这两篇写的例题都很好！强烈推荐！部分细节困惑的地方，在上面两张手写图片中有我的思考，可以看下。
《利用二阶线性微分方程的解求其方程的方法》：https://www.doc88.com/p-0071587835146.html
《探讨由线性齐次微分方程的解求其微分方程》：http://www.doc88.com/p-3147525854300.html
四、解题技巧
1. 已知二阶微分方程的一特征根为 r1=3+2i 时，如何求另一根？
共轭虚根（共轭复根）总是成对存在的，所以已知有一复数根，就可写出另一个是 r2=3-2i。
2. 已知二阶方程两复数特征根，如何求方程？
- 令(r-r1)(r-r2)=0
- 用韦达定理：-b/a = -b = r1+r2，c/a = c = r1·r2，求出b和c，r^2 + b r + c =0。
五、小结
1. 到底几阶？最高阶是几阶导，方程就是几阶。通解中几个独立任意常数，就是几阶。特解不含任意常数。
2. 做题发现，特征根个数（一个几重根就算做几个跟）与微分方程阶数相等，特征方程的形式与常系数线性齐次微分方程相同。
3. 解法（做题中常用的是倒推、特解代入、消C）
- 常系数（任意阶）线性齐次→倒推法
- n阶线性齐次→行列式法
- 已知形式的二阶线性非齐次→特解代入法
- （1） y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x) 及线性无关特解y1*，y2*
- （2）知f(x)形式和一特解 y*，如 y'' + α y' + β = γ e^x
- 知通解但未必线性→消C法
- 常系数线性非齐次→综合法
4. 共轭虚根成对出现，求其方程直接乘，或韦达定理。
P.S. 微分方程这部分，绝大多数题都是从方程求解，所以我每次遇到个别反问题，都束手无策。
找资料时也发现，这部分的文章很少，并不是考试的重点，不过理解了这几个方法，再遇到也没关系了。
这部分还有一个关于反函数的问题，也就是x和y互换位置求解的问题，难住我好几次，这周更。
后面就是线性代数部分了，要加快速度啊。
插入链接时发现，baidu类的链接也太长了吧，有些不协调啊啊。