牛客想开了大赛2——B

原题题址

 

题目描述

t次询问，每次给你一个数n，求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数

输入描述:

第一行一个正整数t
之后t行，每行一个正整数n

输出描述:

输出t行，每行一个整数，表示答案

示例1

输入

                                                                                                                                                                                     

5
13
9
1
13
16

输出

                                                                                                                                                                                  

6
4
1
6
6

备注:

对于100%的数据，t <= 500 , 1 <= n <= 1000000000000000000

 关于这个题的思想与方法，其中有两点比较重要，我先给出：

1）较小的质因数的越多越好。

2）质因数的求解不是直接去寻找，而是通过平时知道该用的时候不知道的定理——约数个数定理。

约数个数定理：

若N满足    ，就有N的约数个数为

有了这个本题最重要的两个就很容易得到：

1）明显de：当   的值恒定时，约数个数不变，但i取较小值值较大时，N的值越小。那么反过来，N的值一定时，但i取较小值值较大时，约数个数越多。

2）在求解约数个数时：通过控制约数对应的的大小关系，排除许多不可能的方案，并在通过公式最终得到答案；

上面说了，通过控制约数对应的的大小关系可以排除许多不可能的方案，且询问数较少，搜索变成一种可能。

所以用dfs。

在搜索之前，用一个倍数素数筛筛一下素数（类似贪心的策略使素数不可能过大，也可以直接手动打表）

素数筛

//比较简单没有写成函数
int a[109],cnt;
bool p[109];
for(int i=2;i<100;i++){
        if(!p[i]){
            a[cnt++]=i;
            for(int j=i;j<100;j+=i)p[j]=1;
}

 搜索的代码（虽说代码简单，只是递归搜索，但其中值的考究的东西还很多）

这个代码相对好懂，直接可以看出过程

void dfs(int pos,ll num,ll sum,int len)//当前枚举p的位置，约数个数，数sum,前一个质因子的指数最大值
{
    if (sum>n) return ;
    if (sum<=n) ans=max(ans,num);
    for (int i=1;i<=len;i++) { 
        ll res=pow(p[pos],i); 
        if (sum>n/res) break;//注意不要用sum*res>n，炸long long 
        dfs(pos+1,num*(i+1),sum*(res),i);
    } 
}

这段代码更难懂，但它充分利用了递归的性质，将上面代码一些重复的步骤省略了

int dfs(ll x,int t,int ci){分别代表当前的数值，素数的表素数的位置，上一个素数的指数值
    int num=1;
    int ans=1;
    while(x/=a[t]){
        ++num;
        if(num>ci)break;
		ans=max(ans,num*dfs(x,t+1,num)) 
        cout <

 最后就整个主函数输入输出

int main(){
    int T;
    cin >> T;
    while(T--){
        cin >> n;
        cout << dfs();//视个人的dfs函数情况填写参数
    }
    return 0;
}

说实话吧，这题我写了半天就憋出了个小型素数表，方向大致有，贪心策略也明白，当时这个定理没想起来，找约数就没好的思路，这题要是约数定理热热乎乎的，没准能整出来，但是做题的时候硬是没想起来，还是不熟练，思路不开阔。