LibreOJ - 6029 市场

题意：

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，有 $q$ 次操作，① $1,l,r,c$，令 $a_i^{\prime }=a_i+c(i=l,l+1,\cdots ,r)$；② $2,l,r,d$，令 $a_i^{\prime }=\lfloor \frac{a_i}{d}\rfloor$；③ $3,l,r$，求 $\underset{i=l}{\overset{r}{\min }}\{a_i\}$；④ $4,l,r$，求 $\sum _{i=l}^r{a}_i$ 。$(n,q\le 10^5,-10^4\le c\le 10^4,2\le d\le 10^9)$

链接：

https://vjudge.net/problem/LibreOJ-6029

解题思路：

考虑线段树。区间除法操作无法直接更新，注意到除法操作每次至少让区间所有数减小一半，如果仍简单考虑所有叶结点的势能，由于有区间加法操作，一次区间加至多重置所有叶结点的势能，复杂度不行。

进一步考虑，我们能直接更新并不仅当深入到叶结点，比如区间所有数相等，那么可以化为一次区间减法，注意到进行有限次区间除法后，整个区间可以变成同一个数，大约也是 $O(loga)$ 次，考虑以此作为结点势能，即结点 $[l,r]$ 势能为 $log(\max \{a_i\})-log(\min \{a_i\})$，那么初始总势能为 $O(nlognloga)$。对于一次区间除法，第一步先定位到 $O(logn)$ 个区间，复杂度 $O(logn)$；第二步，若当前结点势能非 $0$，即最值差不为 $0$，那么继续深入子树，每向下访问一个结点，回溯时必然让该结点势能减少至少 $1$，即该阶段访问的结点总次数与总势能同阶，复杂度 $O(nlognloga)$。

再考虑区间加法对总势能的影响，仍先定位到 $O(logn)$ 个区间，此时路径上的 $O(logn)$ 个结点势能至多增加 $O(lognloga)$ （即 $pushUp$ 时被更新的结点）。对于进行区间加法的区间，注意到区间最值并不改变，那么结点势能也不变。故区间加法对总势能的影响为 $O(lognloga)$。

 
但是这并不完全对！我们注意到势能应该定义为被暴力修改的次数，但极差相同并不意味着被暴力修改的次数相同，考虑这样一组数 $2^n-1,2^n$，每次除以 $2$，差值多次维持在 $1$，最后才变为 $0$，这意味一次区间加法能使总势能爆炸，上述复杂度不成立。我们计算除法操作对区间极差的影响，记 $y_1=\lfloor \frac{x_1}{d}\rfloor ,y_2=\lfloor \frac{x_2}{d}\rfloor$，其中 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 分别为除法操作前后区间的区间最值，$x_1\ge x_2,y_1\ge y_2$。改写 $x_1=y_1\ast d+r_1,x_2=y_2\ast d+r_2$，其中 $0\le r_1,r_2<d$，作差得：
$$x_1-x_2=(y_1-y_2)\ast d+(r_1-r_2)$$
记 $x_1-x_2=x,y_1-y_2=y,r_1-r_2=r$，其中 $-d<r<d$，
$$\{\begin{array}{l}x-y\ast d=r>-d\Rightarrow y<\lceil \frac{x}{d}\rceil +1\Rightarrow y\le \lceil \frac{x}{d}\rceil \\ x-y\ast d=r<d\Rightarrow y>\lfloor \frac{x}{d}\rfloor -1\Rightarrow y\ge \lfloor \frac{x}{d}\rfloor \end{array}$$
当且仅当 $x>1$ 时，$y$ 每次才会严格减少，而当 $x=1$，会在若干次除法操作使得 $y=1$ 后最终使得 $y=0$，而 $x=y$ 时是可以直接化除法为减法的。那么我们改变区间直接更新的条件，当 $x=y$ 时我们直接进行更新，则相同的极差意味着相同的势能，在进行区间加法的时候，对于区间及其子区间的代表结点极差均不变，总势能也不变。总时间复杂度为 $O(mlogn+nlognloga)$。

参考代码：

#include
 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define sz(a) ((int)a.size())
#define pb push_back
#define lson (rt << 1)
#define rson (rt << 1 | 1)
#define gmid (l + r >> 1)
const int maxn = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

int a[maxn];
int n, q;

struct SegTree{

    ll sum[maxn << 2], mx[maxn << 2], mn[maxn << 2], add[maxn << 2];
    void pushUp(int rt){

        sum[rt] = sum[lson] + sum[rson];
        mx[rt] = max(mx[lson], mx[rson]);
        mn[rt] = min(mn[lson], mn[rson]);
    }
    void build(int l, int r, int rt){

        add[rt] = 0;
        if(l == r){

            sum[rt] = mx[rt] = mn[rt] = a[l];
            return;
        }
        int mid = gmid;
        build(l, mid, lson);
        build(mid + 1, r, rson);
        pushUp(rt);
    }
    void pushDown2(int rt, int son, int len){

        if(add[rt]){

            add[son] += add[rt];
            sum[son] += len * add[rt];
            mx[son] += add[rt], mn[son] += add[rt];
        }
    }
    void pushDown(int l, int r, int rt){

        int mid = gmid;
        pushDown2(rt, lson, mid - l + 1);
        pushDown2(rt, rson, r - mid);
        add[rt] = 0;
    }
    void updateAdd(int l, int r, int rt, int L, int R, int val){

        if(l >= L && r <= R){

            add[0] = val;
            pushDown2(0, rt, r - l + 1);
            return;
        }
        int mid = gmid;
        pushDown(l, r, rt);
        if(L <= mid) updateAdd(l, mid, lson, L, R, val);
        if(R > mid) updateAdd(mid + 1, r, rson, L, R, val);
        pushUp(rt);
    }
    ll cal(ll x, ll y){

        if(x < 0) return (x + 1) / y - 1;
        else return x / y;
    }
    void updateDiv(int l, int r, int rt, int L, int R, int val){

        if(l >= L && r <= R && mx[rt] - mn[rt] == cal(mx[rt], val) - cal(mn[rt], val)){

            add[0] = cal(mx[rt], val) - mx[rt];
            pushDown2(0, rt, r - l + 1);
            return;
        }
        int mid = gmid;
        pushDown(l, r, rt);
        if(L <= mid) updateDiv(l, mid, lson, L, R, val);
        if(R > mid) updateDiv(mid + 1, r, rson, L, R, val);
        pushUp(rt);
    }
    ll queryMin(int l, int r, int rt, int L, int R){

        if(l >= L && r <= R) return mn[rt];
        int mid = gmid; ll ret = 1ll << 60;
        pushDown(l, r, rt);
        if(L <= mid) ret = min(ret, queryMin(l, mid, lson, L, R));
        if(R > mid) ret = min(ret, queryMin(mid + 1, r, rson, L, R));
        return ret;
    }
    ll querySum(int l, int r, int rt, int L, int R){

        if(l >= L && r <= R) return sum[rt];
        int mid = gmid; ll ret = 0;
        pushDown(l, r, rt);
        if(L <= mid) ret += querySum(l, mid, lson, L, R);
        if(R > mid) ret += querySum(mid + 1, r, rson, L, R);
        return ret;
    }
} tr;

int main(){

    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){

        cin >> a[i];
    }
    tr.build(1, n, 1);
    while(q--){

        int opt, x, y, z; cin >> opt >> x >> y; ++x, ++y;
        if(opt == 1){

            cin >> z;
            tr.updateAdd(1, n, 1, x, y, z);
        }
        else if(opt == 2){

            cin >> z;
            tr.updateDiv(1, n, 1, x, y, z);
        }
        else if(opt == 3){

            ll ret = tr.queryMin(1, n, 1, x, y);
            cout << ret << "\n";
        }
        else{

            ll ret = tr.querySum(1, n, 1, x, y);
            cout << ret << "\n";
        }
    }
    return 0;;
}