算法导论中求解时间复杂度的三种方法

这一章讲的是递归式(recurrence)，递归式是一组等式或不等式，它所描述的函数是用在更小的输入下该函数的值来定义的。

本章讲了三种方法来解递归式，分别是代换法，递归树方法，主方法。

1.代换法(Substitution method)(P38~P40)

定义：即在归纳假设时，用所猜测的值去代替函数的解。

用途：确定一个递归式的上界或下界。

缺点：只能用于解的形式很容易猜的情形。

总结：这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。

2.递归树方法(Recursion-tree method)

起因：代换法有时很难得到一个正确的好的猜测值。

用途：画出一个递归树是一种得到好猜测的直接方法。

分析(重点)：在递归树中，每一个结点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合，再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。

总结：递归树最适合用来产生好的猜测，然后用代换法加以验证。

递归树扩展过程：①.第二章2.3.2节分析分治法时图2-5(P21~P22)的构造递归树过程；②.第四章P41图4-1的递归树构造过程；这两个图需要好好分析。

3.主方法(Master method)

优点：针对形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式

缺点：并不能解所有形如上式的递归式的解。

具体分析：

T(n) = aT(n/b) + f(n)描述了将规模为n的问题划分为a个子问题的算法的运行时间，每个子问题的规模为n/b。

在这里可以看到，分治法就相当于a=2, b=2, f(n) = O(n).

主方法依赖于主定理：(图片点击放大)

图片可以不清晰，可以看书。

主定理的三种情况，经过分析，可以发现都是把f(n)与 比较。

第一种情况是 更大，第二种情况是 与f(n)相等，第三种情况是f(n)更大。

但是，这三种情况并未完全覆盖所有可能的f(n)：

第一种情况是f(n)多项式的小于 ，而第三种情况是f(n)多项式的大于 ，即两者相差的是。如果两者相差的不是 ，则无法用主定理来确定界。

比如算法导论P44最下面的 就不能用主定理来判断。

（这里所说的多项式大于和多项式小于的意思是因子的指数要不一样，相差）