july算法10——博弈论、概率和数论

1.博弈论

1.1 定义

• 游戏论（Game Theory）
• 定义：双人（多人）做出多轮决策，每一次决策将影响之后的决策，规则和目标明确
• 一般假设所有人都足够聪明
• 求先手（后手）必胜策略
• 公平vs 非公平
• 平衡态：与终态有一样的性质，无论对手做什么，己方都可以做出相应的决策，将终态留给对手

1.2 放围棋游戏

• 有一个圆桌，两个人轮流往圆桌上放围棋，围棋不能重叠，谁先放不下谁输，请问先手是否有必胜策略
• 关键：每一步保证自己能放，平衡态
• 先手必胜策略：先手在圆桌的圆心放下一颗围棋，之后的每一个围棋都放在对手决策的圆心对称处

1.3 取石子游戏

• 有一个堆石子，N个。两个人轮流取1~K个石子，取到最后一个者赢，请问先手是否有必胜策略
• 关键：每一步保证自己能取，终态（平衡态）留给对手
• 先手必胜策略：开始取N % (K + 1)个，之后对手取X个，己方取K + 1 -X个，保持余数为0（平衡态）
• 如果是取到最后一个输呢？

变种：

• 有一个堆石子，N个。两个人轮流取1,2,4,…或2n个石子，取到最后一个者赢，请问先手是否有必胜策略
• 关键：每一步保证自己能取，终态（平衡态）留给对手
• 先手必胜策略：开始取N % 3个，之后对手取X个，己方取3 -X % 3个，保持余数为0（平衡态）
• 为什么？观察2ⁿ % 3

变种：

• 有N堆石子，每堆Ni个。两个人轮流取若干个石子，不能跨堆取，取到最后一个者赢，请问先手是否有必胜策略
• 关键：每一步保证自己能取，终态（平衡态）留给对手
• 先手必胜策略：开始取Xor(N i)，对方取X个，己方取Xor(N’ i)个，保持异或和为0（平衡态）
• 怎么保证每次都能取到想要的个数？

2.概率

2.1 定义

• 定义（大数定律）

  
  
  
• 无穷级数
• 条件概率
• 贝叶斯公式
• 朴素贝叶斯

2.2 题目1

• 有三个密封的箱子（A，B，C），其中两个是空的，另一个箱子里面有大奖。你并不知道奖在哪一个箱子里，但主持人知道。主持人先要你选择一个箱子（A），接着他把你没有选的箱子（B）打开，证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会，此时你该不该换箱子（C）？
• 关键：P(C有奖|选了A，主持人说B是空的) =？

2.3 题目2

• 有一苹果，两个人轮流抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少？
• 关键：P(先吃苹果) = P(第一次抛到)+ P(第二次抛到) + ….. + P(无穷多次)

2.4 题目3

• 世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者
• 艾滋病的检测目前准确率是99%
• 假设你刚去做完艾滋病检验，得到的了检测报告，结果是阳性(A)！你会担心到什么程度？(B)
• 关键：贝叶斯公式
• P(B | A) = P(A | B) * P(B) / P(A)

2.5 题目4

• 有一对夫妇，先后生了两个孩子，其中一个孩子是女孩(A)，问另一个孩子是男孩(B)的概率是多大？
• 关键：条件概率公式
• P(B | A) = P(AB) / P(A)
• P(A) = 3 / 4
• P(AB) = 1 / 2

2.6 题目5

• 一条长度为L的线段，随机在其上选2个点，将线段分为3段，问这3个子段能组成一个三角形的概率是多少？
• 关键：列出不等式
• 随机选线段上两个点x，y，令y > x
• 三条线段长度为x，y –x，1 –y
• 两边之和大于第三边：x < 1/2; y > 1/2; y > x + 1/2
• 线性规划

3.数论

3.1 概念

• 讨论范围一般为整数
• 因数（约数），质数（素数），质因数，质因数分解
• 整除，余数，最大公约数（因数），最小公倍数
• 辗转相除法
• 筛法
• 求约数个数
• Mod运算

3.2 质因素分解

• 目标：将N质因素分解
  （1）从小到大查找N在[2，Sqrt(N)]上的因数
  （2）查找到的第一个因数为N的最小质因数P
  （3）N = N / P，跳回（1）

• 时间复杂度：O（Sqrt(n)）

• 空间复杂度：O（1）

• Leetcode507

3.3 辗转相除法

• 目标：求最大公约数
  起源：辗转相减法
  GCD(a, b) = GCD(a, b –a), b > a

• 证：设t为a, b的任意一个公约数，则有tp= a, tq= b，
  b –a = t(q –p), 公约数仍在

• 伪代码（递归写法）

intgcd(inta, intb)
  if (a == 0) return b;
  return gcd(b % a, a);  //可以看做多次减法

• 时间复杂度：O（logn）

• 最小公倍数：LCM(a, b) = a * b / GCD(a, b)

3.4 筛法

• 目标：求[2, N]范围内所有质数
  （1）将[2, N]所有整数加入集合A
  （2）取出最小的整数P，删去A中P的倍数
  （3）P一定是A内最小质数，跳回（2）
  BTW：整个过程像是在纸上打洞，打出个筛子
  时间复杂度：O（NlnlnN）
  空间复杂度：O（N）

• Leetcode204. Count Primes

3.5 求约数个数

• 目标：求N的约数个数
  暴力做法：for(1 .. N)
  时间复杂度：O（N）
  空间复杂度：O（1）
  质因数分解
  N = PI(ai^pi)，ai为质数
  Ans= PI(pi + 1)

3.6 mod运算

• Mod运算的一些性质
  (a + b) % m = (a % m + b % m) % m
  (a * b) % m = (a % m) * (b % m) % m
  交换律：(a + b) % m = (b + a) % m 乘法
  结合律：(a + b + c) % m = (a + (b + c)) % m 乘法
  分配率：(a + b) * c % m = (ac + bc) % m

• 判断N能不能被2整除
  判断N能不能被3整除
  判断N能不能被4整除
  判断N能不能被5整除
  判断N能不能被6整除
  判断N能不能被8整除
  .……

• Leetcode326

参考

• 1）面试求职 第四期