Huffman编码

在电文传输中，需要将电文中出现的每个字符进行二进制编码。在设计编码时需要遵守两个原则：

• 发送方传输的二进制编码，到接收方解码后必须具有唯一性，即解码结果与发送方发送的电文完全一样；
• 发送的二进制编码尽可能地短。下面我们介绍两种编码的方式。

（1）等长编码
这种编码方式的特点是每个字符的编码长度相同（编码长度就是每个编码所含的二进制位数）。假设字符集只含有4个字符A，B，C，D，用二进制两位表示的编码分别为00，01，10，11。若现在有一段电文为：ABACCDA，则应发送二进制序列：00010010101100，总长度为14位。当接收方接收到这段电文后，将按两位一段进行译码。这种编码的特点是译码简单且具有唯一性，但编码长度并不是最短的。

（2）不等长编码
在传送电文时，为了使其二进制位数尽可能地少，可以将每个字符的编码设计为不等长的，使用频度较高的字符分配一个相对比较短的编码，使用频度较低的字符分配一个比较长的编码。例如，可以为A，B，C，D四个字符分别分配0，00，1，01，并可将上述电文用二进制序列：000011010发送，其长度只有9个二进制位，但随之带来了一个问题，接收方接到这段电文后无法进行译码，因为无法断定前面4个0是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯一，因此这种编码方法不可使用。

因此，为了设计长短不等的编码，以便减少电文的总长，还必须考虑编码的唯一性，即在建立不等长编码时必须使任何一个字符的编码都不是另一个字符的前缀，这宗编码称为前缀编码（prefix code）

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Huffman树：
与Huffman树（最优二叉树）有关的概念：

• 路径： 树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
• 路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。
• 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。
• 结点的带权路径长度：在一棵树中，如果其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值之积称为该结点的带权路径长度（Weighted Path Length）
• Huffman树：带权路径长度WPL最小的二叉树。

Huffman编码：

• 利用字符集中每个字符的使用频率作为权值构造一个Huffman树；
• 从根结点开始，为到每个叶子结点路径上的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向形成该叶子结点的编码

例：

假设一个文本文件TFile中只包含7个字符{A，B，C，D，E，F，G}，这7个字符在文本中出现的次数为{5，24，7，17，34，5，13}
利用哈夫曼树可以为文件TFile构造出符合前缀编码要求的不等长编码

步骤：

1. 将TFile中7个字符都作为叶子结点，每个字符出现次数作为该叶子结点的权值
2. 将权值从小到大排列，递归地选择最小的两个元素构成一个新的节点，新机电的权值为两个元素权值之和。（如：第一步选择A（权值为5）和F（权值为5）构成新节点，新节点的权值看成AF的和（10）；第二次选择当前最小的两个节点C（权值为5）和权值为10的点，构成新的权值为17的点…）
3. 规定Huffman树中所有左分支表示字符0，所有右分支表示字符1,将依次从根结点到每个叶子结点所经过的分支的二进制位的序列作为该结点对应的字符编码

由于从根结点到任何一个叶子结点都不可能经过其他叶子，这种编码一定是前缀编码，Huffman树的带权路径长度正好是文件TFile编码的总长度。

这种通过哈夫曼树来构造的编码称为哈夫曼编码（Huffman Code）。

求解Huffman树的WPL常用最小堆，例题又如重编码。