快速莫比乌斯变换(FMT)&快速莫比乌斯反演(FMI)

前言

这好像是一个很巧妙的东西
我在FWT的博客里写到的FWTor和FWTand似乎其实并不是真正的FWT，好像就是FMT
而FWTxor才是真正的FWT
而这里有一个更为本质的FMT板子，分治算法可以去看我FWT的博客学习
另外，似乎这里的“莫比乌斯反演”和数论的“莫比乌斯反演有所不同”
本博客部分内容参考：吕凯风, 《集合幂级数的性质与应用及其快速算法》, 国家集训队2015论文集。

问题

现在已知两个函数$f(S)，g(S)$
我们要求每个$$F(S)=\sum _{A\subseteq S}\sum _{B\subseteq S}f(A)g(B)$$

解决

我们发现，我们把$f$、$g$、$F$翻转后成为$f^{\prime }$、$g^{\prime }$、$F^{\prime }$
可以列出以下式子：
$$F^{\prime }(S)=\sum _{A\cap B=S}{f}^{\prime }(A)g^{\prime }(B)$$
然后直接FWTand就好了

性质

由于在FWT的博客中我的证明是直接用定义+分治的
所以中间过程并没有很好的解释
我们来看and的FWT定义：
$$\begin{array}{r}FWT(A)=(\sum _{i\&0=0}{a}_i,\sum _{i\&1=1}{a}_i,\sum _{i\&2=2}{a}_i\cdot \cdot \cdot \sum _{i\&(n-1)=(n-1)}{a}_i)\end{array}$$
我们发现把它当成集合，并且翻转之后
就变成了$$F^{\prime }(S)=\sum _{A\subseteq S}{f}^{\prime }(A)$$
于是我们获得了很好的快速求这个式子的做法
设元素个数为$n$，那么复杂度为$\Theta (2^{n}n)$，比直接枚举子集的$\Theta (3^n)$优了不少（应用例题：PKUWC2018随机游走）
其实这个东西有一种更加好写的写法、并且不需要翻转（其实真的只是压了一个循环）
贴出代码：

inline void FMT(int*A)
{
    for(rg int i=1;i<1<<n;i<<=1)
    	for(rg int j=0;j<1<<n;j++)
			if(i&j)
				A[j]=(A[j]+A[j^i])%mod;
}

其实
$$f(S)=\sum _{T\subseteq S}g(T)$$
这个才是真正的快速莫比乌斯变换（FMT）

然后我们回到上面，IFWT()究竟是什么呢？
相当于就是进行反演
$$g(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}f(T)$$
然后这就是快速莫比乌斯反演（FMI） 了

inline void FMI(int*A)
{
    for(rg int i=1;i<1<<n;i<<=1)
    	for(rg int j=0;j<1<<n;j++)
			if(i&j)
				A[j]=A[j]-A[j^i];
}

整合一下变成

inline void FMT(int*A,const int fla)
{
    for(rg int i=1;i<1<<n;i<<=1)
    	for(rg int j=0;j<1<<n;j++)
			if(i&j)
				A[j]=A[j]+fla*A[j^i];
}

总结

大概这是FWTor/FWTand的本质吧
这里的代码和之前的代码有所不同，但是本质一样，有兴趣可以自行推导一下
另外，根据测试，跑$2^{25}$的数据的时候，这里的FMT花的时间大概是FWT里的写法跑的时间的1.2倍，略有点常数，所以还是推荐FWT里的and写法