边框回归(Bounding Box Regression)详解

Bounding-Box regression

最近一直看检测有关的Paper, 从rcnn， fast rcnn, faster rcnn, yolo, r-fcn, ssd，到今年cvpr最新的yolo9000。这些paper中损失函数都包含了边框回归，除了rcnn详细介绍了，其他的paper都是一笔带过，或者直接引用rcnn就把损失函数写出来了。前三条网上解释比较多，后面的两条我看了很多paper，才得出这些结论。

• 为什么要边框回归？
• 什么是边框回归？
• 边框回归怎么做的？
• 边框回归为什么宽高，坐标会设计这种形式？
• 为什么边框回归只能微调，在离Ground Truth近的时候才能生效？

为什么要边框回归？

这里引用王斌师兄的理解，如下图所示：

对于上图，绿色的框表示Ground Truth, 红色的框为Selective Search提取的Region Proposal。那么即便红色的框被分类器识别为飞机，但是由于红色的框定位不准(IoU<0.5)， 那么这张图相当于没有正确的检测出飞机。 如果我们能对红色的框进行微调， 使得经过微调后的窗口跟Ground Truth 更接近， 这样岂不是定位会更准确。 确实，Bounding-box regression 就是用来微调这个窗口的。

边框回归是什么？

继续借用师兄的理解：对于窗口一般使用四维向量 (x,y,w,h) 来表示， 分别表示窗口的中心点坐标和宽高。 对于图 2, 红色的框 P 代表原始的Proposal, 绿色的框 G 代表目标的 Ground Truth， 我们的目标是寻找一种关系使得输入原始的窗口 P 经过映射得到一个跟真实窗口 G 更接近的回归窗口 G^ 。

边框回归的目的既是：给定 (Px,Py,Pw,Ph) 寻找一种映射 f ， 使得 f(Px,Py,Pw,Ph)=(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^) 并且 (Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)≈(Gx,Gy,Gw,Gh)

边框回归怎么做的？

那么经过何种变换才能从图 2 中的窗口 P 变为窗口 G^ 呢？ 比较简单的思路就是: 平移+尺度放缩

1. 先做平移 (Δx,Δy) ， Δx=Pwdx(P),Δy=Phdy(P) 这是R-CNN论文的：
   G^x=Pwdx(P)+Px,(1)
   G^y=Phdy(P)+Py,(2)
2. 然后再做尺度缩放 (Sw,Sh) , Sw=exp(dw(P)),Sh=exp(dh(P)) , 对应论文中：
   G^w=Pwexp(dw(P)),(3)
   G^h=Phexp(dh(P)),(4)

观察(1)-(4)我们发现， 边框回归学习就是 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P) 这四个变换。下一步就是设计算法那得到这四个映射。

线性回归就是给定输入的特征向量 X, 学习一组参数 W, 使得经过线性回归后的值跟真实值 Y(Ground Truth)非常接近. 即 Y≈WX 。 那么 Bounding-box 中我们的输入以及输出分别是什么呢？

Input:

RegionProposal→P=(Px,Py,Pw,Ph) ，这个是什么？ 输入就是这四个数值吗？其实真正的输入是这个窗口对应的 CNN 特征，也就是 R-CNN 中的 Pool5 feature（特征向量）。 (注：训练阶段输入还包括 Ground Truth， 也就是下边提到的 t∗=(tx,ty,tw,th) )

Output:

需要进行的平移变换和尺度缩放 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P) ， 或者说是 Δx,Δy,Sw,Sh 。 我们的最终输出不应该是 Ground Truth 吗？ 是的， 但是有了这四个变换我们就可以直接得到 Ground Truth， 这里还有个问题， 根据(1)~(4)我们可以知道， P 经过 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P) 得到的并不是真实值 G， 而是预测值 G^ 。 的确， 这四个值应该是经过 Ground Truth 和 Proposal 计算得到的真正需要的平移量 (tx,ty) 和尺度缩放 (tw,th) 。
这也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：

tx=(Gx−Px)/Pw,(6)

ty=(Gy−Py)/Ph,(7)

tw=log(Gw/Pw),(8)

th=log(Gh/Ph),(9)

那么目标函数可以表示为 d∗(P)=wT∗Φ5(P) ， Φ5(P) 是输入 Proposal 的特征向量， w∗ 是要学习的参数（*表示 x,y,w,h， 也就是每一个变换对应一个目标函数） , d∗(P) 是得到的预测值。 我们要让预测值跟真实值 t∗=(tx,ty,tw,th) 差距最小， 得到损失函数为：

Loss=∑iN(ti∗−w^T∗ϕ5(Pi))2

函数优化目标为：

W∗=argminw∗∑iN(ti∗−w^T∗ϕ5(Pi))2+λ||w^∗||2

利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到 w∗ 。

为什么宽高尺度会设计这种形式？

这边我重点解释一下为什么设计的 tx,ty 为什么除以宽高，为什么 tw,th 会有log形式！！！

首先CNN具有尺度不变性， 以图3为例：

x,y 坐标除以宽高

上图的两个人具有不同的尺度，因为他都是人，我们得到的特征相同。假设我们得到的特征为 ϕ1,ϕ2 ，那么一个完好的特征应该具备 ϕ1=ϕ 。ok，如果我们直接学习坐标差值，以x坐标为例， xi,pi 分别代表第i个框的x坐标，学习到的映射为 f , f(ϕ1)=x1−p1 ，同理 f(ϕ2)=x2−p2 。从上图显而易见， x1−p1≠x2−p1 。也就是说同一个x对应多个y，这明显不满足函数的定义。边框回归学习的是回归函数，然而你的目标却不满足函数定义，当然学习不到什么。

宽高坐标Log形式

我们想要得到一个放缩的尺度，也就是说这里限制尺度必须大于0。我们学习的 tw,th 怎么保证满足大于0呢？直观的想法就是EXP函数，如公式(3), (4)所示，那么反过来推导就是Log函数的来源了。

为什么IoU较大，认为是线性变换？

当输入的 Proposal 与 Ground Truth 相差较小时(RCNN 设置的是 IoU>0.6)， 可以认为这种变换是一种线性变换， 那么我们就可以用线性回归来建模对窗口进行微调， 否则会导致训练的回归模型不 work（当 Proposal跟 GT 离得较远，就是复杂的非线性问题了，此时用线性回归建模显然不合理）。这里我来解释：

Log函数明显不满足线性函数，但是为什么当Proposal 和Ground Truth相差较小的时候，就可以认为是一种线性变换呢？大家还记得这个公式不？参看高数1。

limx=0log(1+x)=x

现在回过来看公式(8):

tw=log(Gw/Pw)=log(Gw+Pw−PwPw)=log(1+Gw−PwPw)

当且仅当 Gw−Pw =0的时候，才会是线性函数，也就是宽度和高度必须近似相等。

对于IoU大于指定值这块，我并不认同作者的说法。我个人理解，只保证Region Proposal和Ground Truth的宽高相差不多就能满足回归条件。x,y位置到没有太多限制，这点我们从YOLOv2可以看出，原始的边框回归其实x，y的位置相对来说对很大的。这也是YOLOv2的改进地方。详情请参考我的博客YOLOv2。

总结

里面很多都是参考师兄在caffe社区的回答，本来不想重复打字的，但是美观的强迫症，让我手动把latex公式巴拉巴拉敲完，当然也为了让大家看起来顺眼。后面还有一些公式那块资料很少，是我在阅读paper+个人总结，不对的地方还请大家留言多多指正。