关于机器学习的数学基础-高数、线性代数、概率论与数理统计

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${f^{\prime }}_{-}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x)$

右导数：${f^{\prime }}_{+}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\iff f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: $f^{\prime }(x_0)$存在$\iff {f^{\prime }}_{-}(x_0)={f^{\prime }}_{+}(x_0)$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)̸=0$

5.四则运算法则
设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则
(1) $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2)$(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}(v̸=0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

6.基本导数与微分表
(1) $y=c$（常数） $y^{\prime }=0$ $dy=0$
(2) $y=x^{\alpha }$($\alpha $为实数) $y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$ $dy=\alpha x^{\alpha -1}dx$
(3) $y=a^x$ $y^{\prime }=a^x\ln a$ $dy=a^x\ln adx$
特例: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ $d(e^x)=e^{x}dx$

(4) $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

$y^{\prime }=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

$y^{\prime }=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$ $d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$
(8) $y=\cot x$ $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$ $d(\cot x)=-{\csc }^{2}xdx$
(9) $y=\sec x$ $y^{\prime }=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$ $y^{\prime }=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$

$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
(12) $y=\arccos x$

$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

(13) $y=\arctan x$

$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dx$

(14) $y=\mathrm{arc}\cot x$

$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

$d(\mathrm{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+x^2}dx$
(15) $y=shx$

$y^{\prime }=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

$y^{\prime }=shx$ $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f^{\prime }(x)̸=0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
(2) 复合函数的运算法则:若$\mu =\phi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$($\mu =\phi (x)$) 可导,则复合函数 $y=f(\phi (x))$ 在点$x$可导,且$y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$
(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：
1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，$y^2$，$lny$，$e^y$等均是$x$的复合函数.
对$x$求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{F^{\prime }}_x(x,y)}{{F^{\prime }}_y(x,y)}$,其中，${F^{\prime }}_x(x,y)$，
${F^{\prime }}_y(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）$(a^x){}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0)(e^x){}^{(n)}=e{}^x$
（2）$(\sin kx){}^{(n)}=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$
（3）$(\cos kx){}^{(n)}=k^n\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$
（4）$(x^m){}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$
（5）$(\ln x){}^{(n)}={(-1)}^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^n}$
（6）莱布尼兹公式：若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则
${(uv)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$，其中$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件：
(1)函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$,

(2) $f(x)$在$x_0$处可导,则有 $f^{\prime }(x_0)=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在闭区间$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

(3)$f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $f^{\prime }(\xi )=0$
Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：
(1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导且$f^{\prime }(x)$，$g^{\prime }(x)$均存在，且$g^{\prime }(x)̸=0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

10.洛必达法则
法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)
设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=0$;

$f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$的邻域内可导，(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)̸=0$;

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty $)。

则:
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$。
法则$I^{\prime }$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=0$;

存在一个$X>0$,当$\left|x\right|>X$时,$f\left(x\right),g\left(x\right)$可导,且$g^{\prime }\left(x\right)̸=0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则:
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$
法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\infty$; $f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$ 的邻域内可导(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)̸=0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。则
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}.$同理法则$I{I}^{\prime }$($\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则$I^{\prime }$可写出。

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_0$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意点$x$，在$x_0$与$x$之间至少存在
一个$\xi $，使得：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0){(x-x_0)}^2+\cdots$
$+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x)$
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1}$称为$f(x)$在点$x_0$处的$n$阶泰勒余项。

令$x_0=0$，则$n$阶泰勒公式
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$……(1)
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi $在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$x_0=0$处的泰勒公式

(1) $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{{(-1)}^n{x}^{n+1}}{(n+1){(1+\xi )}^{n+1}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

(5) ${(1+x)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{x}^{n+1}{(1+\xi )}^{m-n-1}$

或 ${(1+x)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

12.函数单调性的判断
Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f{}^{\prime }(x)>0$（或$f{}^{\prime }(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取极值，则$f{}^{\prime }(x_0)=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域内可微，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续，但$f{}^{\prime }(x_0)$不存在。）
(1)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“+”变“-”，则$f(x_0)$为极大值；
(2)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“-”变“+”，则$f(x_0)$为极小值；
(3)若$f{}^{\prime }(x)$经过$x=x_0$的两侧不变号，则$f(x_0)$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$x_0$处有$f^{\prime \prime }(x)̸=0$，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$，则 当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)<0$时，$f(x_0)$为极大值；
当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)>0$时，$f(x_0)$为极小值。
注：如果$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)<0$，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$，则

$x=x_0$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f^{\prime \prime }(x)<0$（或$f^{\prime \prime }(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在$x_0$处$f^{\prime \prime }(x)=0$，（或$f^{\prime \prime }(x)$不存在），当$x$变动经过$x_0$时，$f^{\prime \prime }(x)$变号，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在$x_0$点的某邻域内有三阶导数，且$f^{\prime \prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x)̸=0$，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{}^{\prime }}^2}dx$

线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，则：$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{l}|A|,i=j\\ 0,i̸=j\end{array}$

或$a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=\{\begin{array}{l}|A|,i=j\\ 0,i̸=j\end{array}$即 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|A\right|E,$其中：$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{nn}\end{array}\right)=(A_{ji})={(A_{ij})}^T$

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le j<i\le n}^{}(x_i-x_j)$

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|=\left|B\right|\left|A\right|=\left|BA\right|$，但$\left|A\pm B\right|=\left|A\right|\pm \left|B\right|$不一定成立。

(3) $\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$,$A$为$n$阶方阵。

(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^T|=|A|;|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$（若$A$可逆），$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

$n\ge 2$

(5) $\left|\begin{array}{cc}& AO\\ & OB\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}& AC\\ & OB\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}& AO\\ & CB\end{array}\right|=|A||B|$
，$A,B$为方阵，但$\left|\begin{array}{cc}O& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& O\end{array}\right|=({-1)}^{mn}|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_1^{n-1}& x_2^{n1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le j<i\le n}^{}(x_i-x_j)$

设$A$是$n$阶方阵，${\lambda }_i(i=1,2\cdots ,n)$是$A$的$n$个特征值，则
$|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$

矩阵

矩阵：$m\times n$个数$a_{ij}$排成$m$行$n$列的表格$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{a}_{m2}\cdots a_{mn}\end{array}\right]$ 称为矩阵，简记为$A$，或者${\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$ 。若$m=n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$是两个$m\times n$矩阵，则$m\times n$ 矩阵$C=c_{ij})=a_{ij}+b_{ij}$称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A+B=C$ 。

2.矩阵的数乘

设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m\times n$矩阵$(k{a}_{ij})$称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为$kA$。

3.矩阵的乘法

设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times s$矩阵，那么$m\times s$矩阵$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$称为$AB$的乘积，记为$C=AB$ 。

4. ${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$、${\mathbf{A}}^{-1}$、${\mathbf{A}}^{\ast }$三者之间的关系

(1) ${(A^T)}^T=A,{(AB)}^T=B^T{A}^T,{(kA)}^T=k{A}^T,{(A\pm B)}^T=A^T\pm B^T$

(2) ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A,{\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1},{\left(kA\right)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1},$

但 ${(A\pm B)}^{-1}=A^{-1}\pm B^{-1}$不一定成立。

(3) ${\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 3)$，${\left(AB\right)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast },$ ${\left(kA\right)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }\left(n\ge 2\right)$

但${\left(A\pm B\right)}^{\ast }=A^{\ast }\pm B^{\ast }$不一定成立。

(4) ${(A^{-1})}^T={(A^T)}^{-1},{\left(A^{-1}\right)}^{\ast }={(A{A}^{\ast })}^{-1},{(A^{\ast })}^T={\left(A^T\right)}^{\ast }$

5.有关${\mathbf{A}}^{\ast }$的结论

(1) $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

(2) $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}(n\ge 2),{(kA)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast },{\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 3)$

(3) 若$A$可逆，则$A^{\ast }=|A|A^{-1},{(A^{\ast })}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$

(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：

$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$

6.有关${\mathbf{A}}^{-1}$的结论

$A$可逆$\iff AB=E;\iff |A|̸=0;\iff r(A)=n;$

$\iff A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\iff A;\iff Ax=0$。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；

(2) $r(A_{m\times n})\le \min (m,n);$

(3) $A̸=0\Rightarrow r(A)\ge 1$；

(4) $r(A\pm B)\le r(A)+r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min (r(A),r(B)),$特别若$AB=O$
则：$r(A)+r(B)\le n$

(7) 若$A^{-1}$存在$\Rightarrow r(AB)=r(B);$ 若$B^{-1}$存在
$\Rightarrow r(AB)=r(A);$

若$r(A_{m\times n})=n\Rightarrow r(AB)=r(B);$ 若$r(A_{m\times s})=n\Rightarrow r(AB)=r\left(A\right)$。

(8) $r(A_{m\times s})=n\iff Ax=0$只有零解

8.分块求逆公式

${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$； ${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$；

${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$； ${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

这里$A$，$B$均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1)${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性相关$\iff$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，$\beta$线性相关$\iff \beta$可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示
$\iff r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta )$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$个$n$维向量
${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n$线性无关$\iff \left|\left[{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\right]\right|̸=0$， $n$个$n$维向量${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n$线性相关
$\iff |[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]|=0$
。

② $n+1$个$n$维向量线性相关。

③ 若${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots {\alpha }_S$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性相关$\iff$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，$\beta$线性相关$\iff \beta$ 可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示
$\iff r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta )$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设$r(A_{m\times n})=r$，则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若$r(A_{m\times n})=r=m$，则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若$r(A_{}$