一道概率问题：

题目：有一辆汽车有N个座位，编号为1~N， 有N个人买票拿号上车，正常人按照自己的座位号对号入座，但是有一个精神病患者，在空座位中随机选择一个空着的座位就坐，正常人的座位如果被占，也将随机选择一个空着就坐，假如第一个上车的是精神病患者，其他人都是正常人，问最后一个人能坐到自己的座位的概率是多少？

对于概率统计的问题，在面试的时候，刚一看题，有点懵，习惯性的瞎猜测1/N，1/2之类的答案。但是冷静下来分析一下，其实没有那么复杂。


首先对于概率问题， 我们通常是要看样本空间，但是对这个问题，貌似样本空间很复杂，我们关心的是最后一个人，也就是第N个人（后面使用#N表示第N个人）是否座到自己的座位的问题。
猜测1/2的答案有一点是出自，样本空间只有两个事件{#N座自己的位置，#N座不到自己的位置}，事件是对的，但是每个事件出现的概率是一样的吗? 这个时候，又纠结了，还是猜，再猜就是看#N-1是否座了#N的位置，这样下去，还有#N-2,...,一直到#1，即精神病人是否占用了#N的位置(后面用%N表示，第N个座位)。


虽然这样猜无法得到答案，但是却给出了一点思路的提示，既然N是很大，又那么复杂，我们何不看N=2，3，4这几个值，分析一下#N位置被占可能性能？


对于N=2，只有两个座位，两个人，#1是精神病人，那么#1占据%2的概率显然是1/2，记为P(2)=1/2
对于N=3，情况稍微要复杂一些，首先看#1有3个座位可以选择
1）#1占据%1，概率是1/3，那么后面谁的座位都不会被占用，按部就班，自己座自己的位置, 可以看成是%N被占的概率为0；
2）#1占据%3，概率是1/3，那么#2上车之后，必然座自己的位置，这是时候，#3一定座不到自己的位置，因此%N被占的概率是1/3；
3）#1占据%2，概率是1/3，那么#2上车之后，由于自己的位置被占了，所以，TA也是在剩下的座位中随机挑选，这个时候可以把TA看成是被传染的精神病人，TA选择%3的概率是1/2（只有2个座位供选择了），因此这种情况下，%N被占的概率是 (1/3)*(1/2) = 1/6
 综合三种情况看，%3被占的概率P(3)= 1/3 + 1/6 = 1/2


对于N=4， 情况更复杂一些了，但是要由耐心，已经有前面的分析了，心里开始窃喜，难道结果真的是1/2，我们先分析完N=4再YY吧。
类似N=3的分析方法
1）#1占据%1，概率是1/4，%N不会被占，因此概率为0;
2）#1占据%4，概率是1/4，#2和#3很高兴，自己座自己的位置，让#4痛苦吧，因此%N 被占的概率是1/4;
3）#1占据%3，概率是1/4，这是可以将#3看成被传染了的精神病人，为什么要这么说，就是为了分析简单，#1占据%3，没有#2什么事，剩下就看#3和#4，由于#3也成为精神病人，TA也是随机选择座位，剩下的不就是一个N=2的问题吗？的确就是啊，那么这种情况下，%N被占的概率是：P(2) * 1/4;
4）#1占据%2，概率是1/4，根据上面第三种情况看，就相当于#2是精神病人，剩下的问题就成了N=3 版本的精神病人抢座位了，哈哈，那么%N被占的概率是：P(3) * 1/4
   综合四种情况看，%4被占的概率P(4)= 1/4 + 1 /4 * P(2) + 1/4 *P(3),等于多少，这个时候，如果你还关心它的值等于多少，那就显得太心急了，这个时候，最应该关心的是是否可以推导出P(5),P(6),...,P(N)
很显然是可以的。


N=k,类似的分析一下

1）#1占据%1，概率是1/k，%N不会被占用，因此概率为0；
2）#1占据%k，概率是1/k，%N被占的概率是 1/k；
3）#1占据%k-1，概率是1/k，这是#k-1成为精神病人，问题也就变成了N=2子问题了，所以概率是 1/k * P(2);
4）#1占据%k-2，概率是1/k，这是#k-2成为精神病人，问题变成了N=3的子问题，所以概率是1/k * P(3);
...
k）#1占据%2，概率是1/k，这是#2成为精神病人，问题变成了N=k-1的子问题，所以概率是1/k *P(k-1);
综合多种情况看P(k) = 1/k * (1 + P(2) + P(3) + ... + P(k-2) + P(k-1));


到这里，我们才恍然大悟，这就是归纳法嘛，就是归纳法，可以用归纳法证明这个公式的成立。

剩下的问题就好解决了，计算P(k)是多少，这个就比较容易了，结果就是1/2。