三极管小信号H模型

• 概述
• BJT小信号模型推导
• 小信号简化模型

1. 概述

BJT的小信号模型是在静态工作点附近推导出的模型，使用小信号模型可以定量计算放大电路的$A_v$，$R_i$, $R_o$这些关键参数，小信号模型相比图解法计算方便，更适用于电路定量分析。

2. BJT小信号模型推导

BJT是一个有源双口网络，其示意图如下所示：

若以$i_B$, $v_{CE}$做为自变量，$v_{BE}$和$i_C$做为因变量，可列出如下方程
$$v_{BE}=f_1\left(i_B,v_{CE}\right)$$ $$i_C=f_2\left(i_B,V_{CE}\right)$$
对上式求全微分得：
$$d{v}_{BE}=\frac{\partial v_{BE}}{\partial i_B}{|}_{v_{CEQ}}d{i}_B+\frac{\partial v_{BE}}{\partial v_{CE}}{|}_{I_{BQ}}d{v}_{CE}$$ $$d{i}_C=\frac{\partial i_C}{\partial i_B}{|}_{v_{CEQ}}d{i}_B+\frac{\partial i_C}{\partial v_{CE}}{|}_{I_{BQ}}d{v}_{CE}$$
上式微分方程中，$d{v}_{BE}$为$v_{BE}$的变化量，$d{i}_C$为$i_C$的变化量; $d{v}_{BE}$的变化量可用$v_{be}$表示，同理$d{i}_C$、$d{v}_{CE}$、$d{i}_B$的变化量可用$d{i}_c$、$d{v}_{ce}$、$d{i}_B$表示。
全微分方程可改写为：
$$v_{be}=h_{ie}{i}_b+h_{re}{v}_{ce}$$ $$i_c=h_{fe}{i}_b+h_{oe}{v}_{ce}$$
$h_{ie}=\frac{\partial v_{BE}}{\partial i_B}{|}_{v_{CEQ}}$是BJT输出端交流短路$\left(v_{ce}=0,v_{CE}=V_{CEQ}\right)$时的输入电阻，即小信号下b-e极间的动态电阻，单位为欧，用$r_{be}$表示；
$h_{fe}=\frac{\partial i_C}{\partial i_B}{|}_{v_{CEQ}}$是BJT输出端交流短路时的正向电流传输比，或电流放大系数，即$\beta$;
$h_{re}=\frac{\partial v_{BE}}{\partial v_{CE}}{|}_{I_{BQ}}$是BJT输入端交流开路$\left(i_b=0,i_B=I_{BQ}\right)$的反向电压传输比；
$h_{o}e=\frac{\partial i_C}{\partial v_{CE}}{|}_{I_{BQ}}$是BJT输入端交流开路时的输出电导，单位为西(S)，也可用$\frac{1}{r_{ce}}$表示。
注：小信号模型中的电流源$h_{fe}{i}_b$受$i_b$控制，是受控电流源，当$i_b=0$时,其电流也不为0，另电流的流向由$i_b$决定；$h_{re}v_{ce}为受控电压源
全微分方程对应的小信号模型如下图所示：

3. 小信号简化模型

BJT工作在放大区时，$h_{re}$和$h_{oe}$很小，因此在小信号模型中将这两个参数忽略，计算时产生的误差很小；如果不满足$r_{ce}>>R_c$或$r_{ce}>>R_L$$，则分析电路时应考虑$r_{ce}$的影响。
简化后的小信号模型如下图所示：

$r_{be}$可由下式求出：
$r_{be}=r_{b{b}^{\prime }}+\left(1+\beta \right)\left(r_e+r^{\prime }e\right)$ (3-1)
其中,$r_{b{b}^{\prime }}$为基区的体电阻，$r_e^{\prime }$为发射区的体电阻，$r_e$为发射结电阻；$r_{b{b}^{\prime }}$和$r_e^{\prime }$仅与掺杂浓度及制造工艺有关，由于发射区掺杂浓度远高，$r_e^{\prime }$可以忽略；根据PN结电流方程，可以推导出$r_e=\frac{V_T}{I_{EQ}}$, 常温下$r_e=\frac{26\left(mV\right)}{I_{EQ}\left(mA\right)}$,常温下有:
$r_{be}=r_{b{b}^{\prime }}+\left(1+\beta \right)\frac{26\left(mV\right)}{I_{EQ}\left(mA\right)}$(3-2)
注：式(3-2)计算$r_{be}$的值适用于$0.1mA<I_{EQ}<5mA$，超出范围误差较大