主动变换和被动变换

主动变换和被动变换

  • Introduction
  • Example
  • Summarize

Introduction

在解析几何中,三维欧几里得空间 R 3 \R^3 R3 中的空间变换可以分为主动变换(active or alibi transformations)和被动变换(passive or alias transformation)。

主动变换真实地改变了一个点或刚体的物理位置,因此在没有坐标系的情况下也可以定义该变换。被动变换描述的是一个点或刚体在两个不同坐标系中坐标的变化,其物理位置实际上并没有发生改变,只是描述其位置的坐标系改变了。提到变换(transformation)时,数学家通常是指主动变换,而物理学家和工程师可能指的是主动变换,也可能指的是被动变换。两种变换都可以通过平移和线性变换的组合来表示。

主动变换和被动变换_第1张图片
在主动变换中(左),一个点从位置 P 移动到位置 P’,这是通过绕坐标系的原点顺时针旋转 θ \theta θ 角度实现的。在被动变换中(右),点 P 并没有移动,而是坐标系绕其原点逆时针旋转 θ \theta θ 角度。主动变换中 P’ 的位置与被动变换中点 P 在旋转后的坐标系中的位置是相同的。

Example

主动变换和被动变换_第2张图片
举一个例子,令 v = ( v 1 , v 2 ) ∈ R 2 v = (v_1,v_2) \in \R^2 v=(v1,v2)R2 为平面中的一个向量。将该向量逆时针旋转一个角度 θ \theta θ 所对应的旋转矩阵为:
R = [ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] R = \left[ \begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{array} \right] R=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]
将 R 左乘向量 v 时为主动变换,将 R − 1 R^{-1} R1 左乘向量 v 时为被动变换。

Summarize

主动变换描述的是同一个(或多个)物体在同一坐标系下的变换。被动变换描述的是同一物体在两个不同坐标系下的变换。

你可能感兴趣的:(Math)