堆排序和快速排序

比较排序：插入排序、合并排序、快速排序和堆排序都是通过比较的方法进行排序，其中合并排序和堆排序的时间是nlgn;还有其他的排序方法，包括
基数排序法、桶排序法。
堆排序算法使用到堆数据结构，堆数据结构是一种数组对象，可以被视为一棵完全二叉树，数中每个节点与数组中存放该节点的值的那个元素对应，
每层都被填满，最后一层可能除外。表示堆的数组结构有两个属性，length[A]是数组中元素个数，heap-size[A]表示存放在A中的堆元素个数，有
如下性值 heap-size[A] <= length[A]; 数的根是A[1]，给定某个节点的下标i,其parent的下标parent[i]=i>>2;它的左子节点left[i]=i<<2
右子节点right[i]=i<<2+1。二叉堆有两种类型，分别是最大堆和最小堆，在这两种堆中，节点内的数值都满足堆特性。在最大堆中，除了根节点
以外的所有节点，满足A[parent[i]]>=A[i]，即某个子节点的至多和其父节点的值一样大；最小堆则刚好相反，A[parent[i]]<=A[i]。在堆排序中，
使用的是最大堆，最小堆经常在构造优先队列中使用。

下面介绍5的过程以及它们在堆排序和构造有先队列中是如何使用的。
MAX-HEAPIFY
    是对最大堆进行操作的重要的子程序，输入为一个数组A和下标i，当MAX-HEAPIFY过程被调用时，我们假定了left[i]和right[i]为根的两个二叉树都是最大堆。
    这时A[i]可能小于其子节点，所以违反了最大堆的性值。MAX-HEAPIFY让元素A[i]在最大堆中下降，使以i为根节点的子树是最大堆。

 MAX-HEAPIFY(A, i)
        left <-- LEFT[i]
        right <-- RIGHT[i]
        if left < heap-size[A] & A[left] > A[i]
            largetst = left;
        else 
            largetst = i;
            
        if right < heap-size[A] & A[right] > A[larget]
            largest = right 
            
        if larget != i 
            then exchange A[i] <--> A[largest]
            MAX-HEAPIFY(A, larget)
    ----------------------------------------------------
    BUILD-MAX_HEAP 
        heap-size[A] = length[A]
        for i = lengt[A] /2 downto 1 
            do MAX-HEAPIFY
    ----------------------------------------------------

HEAPSORT:堆排序算法：
    先将A[1,n]构造成一个最大堆
        BUILD-MAX_HEAP;
    因为数组中最大值存在根A[1],通过将它和A[n]进行交换达到最终正确位置

 for i = length[A] downto 2
            do exchange A[1], A[i]
            heap-size[A] = heap-size[A] - 1
            MAX-HEAPIFY(A, 1)

MAX-HEAP-INSERT, HEAP-EXTRACT-MAX, HEAP-INCREASE-KEY, HEAP-MAXIMUM

快速排序算法是基于分治模式建立的算法，类似于合并排序。以下是对一个典型子数组A[p,r]排序的分治过程的三个步骤：
    （1）分解；数组A[p,r]被划分为两个子数组A[p, q-1]和A[q+1,r],是的A[p, q-1]的值小于A[q], A[q+1,r]子数组的
    所有元素都小于A[q],下标q也在这个划分过程中进行计算
    （2）解决：通过调用递归的快速排序，对子数组A[p,q-1]和A[q+1,r]排序；
    （3）合并：因为两个子数组是就地排序，将它们的合并不需要操作，整个A[p,r]已排序
    

QUICK_SORT(A, p, r)
   if p

    快速排序算法的关键是PARTITION过程，它对子数组A[p, r]进行就地排序：
        

PARTITION(A, p, r) 
           x <- A[p] 
           i <- p-1
            for j <- p upto r-1
            do    
                if A[j] < x
                then i = i+1; exchange A[i], A[j]
            
            exchange A[i+1], A[r]
        return i+1