[微传感器]PID控制结合电路的通俗理解

反馈控制

[why] 抗干扰, 维持系统稳态值, 在开环增益A无穷大时, 可使得传递函数维持在1/F的确定稳定值 <-> 开环控制: 完全依赖开环增益A( 电路系统中值为Vout/Vin)

(证明如下: Vout为输出电压, Vin为输入电压, Vf为反馈电压( f-feedback ), A为开环增益, F为反馈 )
$$\begin{gathered} \frac{V_f}{V_{in}}=\frac{V_f}{V_{out}}\times \frac{V_{out}}{V_{in}} \\ 令A=\frac{V_{out}}{V_{in}},F=\frac{V_f}{V_{out}},则\frac{V_f}{V_{in}}=AF \\ 传递函数H=\frac{Y}{X}=\frac{V_{out}}{V_{in}+V_f}=\frac{\frac{V_{out}}{V_{in}}}{\frac{V_{in}}{V_{in}}+\frac{V_f}{V_{in}}}=\frac{A}{1+AF} \\ 当A\to \infty ,H=\frac{1}{F} \end{gathered}$$
[基本公式]
$$u(x)=K_p(e(t)+\frac{1}{T_i}\int e(t)+T_d\frac{de(t)}{dt})$$
其中Kp为比例系数，Ti为积分时间常量，Td为微分时间常量。

P比例控制

[proportional] 沿用一经典模型–小明倒水, 目标: 水面维持在一指定高度.

假设与目标倒水高度值的差距认为是△, 我们以K的比例系数( 认为K < 1 ), 即速度来填补此次差距△, 每次倒水K△, 因离散系统容易软件模拟( 指定次数 ), 也便于实际分析, 因实际无法做到时刻监视.

那么小明每一次的倒水动作都可以缩小与目标的差距, 在无穷大的时间内此差距一定被填满, 无穷接近目标值△. ( 证明如下: △≈∑K△n=K△ + K(△-K△) + K(△-2K△+K²△) + K(△-3K△+3K²△-K³△) + K(△-4K△+6K²△-K³△) + …)

I积分控制

[加入integration前] 可是, 水缸漏水! 如果水缸一次的漏水量 = 小明一次的填水量, 那么系统一直维持在△的差距, 即稳态误差. –漏斗 , 漏斗流水的时间为积分时间常量

小明一次加水量越大, 可抵抗漏水量也就越大, 即增大开环增益能减小系统稳态误差, 但系统的相对稳定性会降低，甚至造成闭环系统不稳定（振荡严重）, 通常比例控制不单独使用。

[加入integration后] 离散情况下每次的误差累加, 再乘以比例系数Ki, 在稳态停滞在△情况下, 以Ki△逐步缩小误差, 步步逼近

D微分控制

[differentiation] 若对控制速度有要求, 上述积分比例未免太慢了, 因此引入微分控制–水缸开口, 水面越高水压越大, 水流走越快. 实现快速控制, 开口的低高为微分时间常量

但如果天降暴雨, 骤然加快放水速度又消失( 时域分析下 ).

( 频域分析下微分的拉普拉斯变缓为s, 在高频时区域无穷大, 放大高频噪声, 而积分的拉普拉斯变换为1/s, 吸收高频噪声 )

电路模型

因C=U/d, 电容值恒定, 则U∝d, Vin∝位移x

$$\begin{gathered} I_{C_1}=I_{R_2}=I_{C_2}+I_{R_1}=C_2\frac{d{V}_{in}}{dt}+\frac{V_{in}}{R_1} \\ {V}_{out}=\frac{\int I_{C_1}dt}{C_1}+I_{R_2}{R}_2=\frac{C_2}{C_1}{V}_{in}+R_2{C}_2\frac{d{V}_{in}}{dt}+\frac{R_2}{R_1}{V}_{in}+\frac{1}{R_1{C}_1}\int V_{i}dt \end{gathered}$$
可看作微分电路积分电路的叠加

积分器:

$$V_o=\frac{1}{C}\int I_{C}dt=-\frac{1}{CR}\int V_{i}dt$$
微分器:

$$V_o=R{I}_R=-RC\frac{d{V}_i}{dt}$$
详见模电课本6.5积分运算电路与微分控制电路