高等数学:第四章 不定积分(2)换元积分法

§4.2  换元积分法

一、第一类换元法

具有原函数,即

, 

又是另一新变量的函数, 且可微,由复合函数的微分法有  ,从而

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综合上述讨论,有

【定理一】设具有原函数,可导,则有换元积分公式

这个定理表明:欲求不定积分,可令,则不定积分化为,它将原来的积分变量换成了新的积分变量,求出不定积分之后,再把代换回去。

【例1】求下列不定积分

1、,  2、,  3、

解1

, 

解2

 , 

解3

, 

由上面的解题可发现,变量只是一个中间变量,在求不定积分的过程中,只是起过渡作用,最终都要换回到原来的积分变量。因此,在较熟练之后,可以采用不直接写出中间变量的做法。

例如:

研究这些解法可观察到一个非常鲜明的特点:

将被积表达式凑成某个函数的微分形式,再利用积分运算与微分运算的互逆性,达到求不定积分的目的。

因此,第一类换元法又俗称为“凑微分法”。

【典型例题】  求不定积分 

解: 由复合函数求微分的脱衣原理, 有

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于是我们有下述典型的凑微分过程:

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显而易见,凑微分过程与用脱衣原理求复合函数微分过程是完全相反的。因此,凑微分的过程可视为运用“穿衣原理”进行穿衣的过程 --- 即:后脱的衣服应先穿(或:先脱的后穿)。

一般来说,小孩子是先学会脱衣服,再学会穿衣服。这是由于穿衣服有个次序问题。因此,用凑微分法求不定积分较用脱衣原理求复合函数的导数要困难得多。

【例2】求 

解:

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【例3】求

解:

二、第二类换元法

第一类换元法:

有时会遇到相反情形:

显然,这类换元公式成立需要一定的条件,我们来探讨一下它所需要条件。

(1)、代换应可导;

(2)、等式右端的不定积分要存在,即存在着原函数;

(3)、求出后,必须用的反函数代回去,这样,需要函数具有反函数。

【定理二】若

1、是单调函数;

2、可导, 且

3、具有原函数

则有换元公式

其中: 的反函数。

【证明】

  , 则

这表明:的原函数, 于是有:

【例4】求

解:令

【例5】求

解: 令

这里:

 

对此例,我们给出两点注解:

1、对于第二类换元法,求反函数是一个麻烦的地方,往往需要一定的技巧。上例的反函数不能简单地用,并将它代入中,得到  这个“形式过重”表达式,因为它不便应用。

2、这一不定积分是一个重要的积分公式。

第二类换元法有一个十分有用的代换 —— 倒置代换。这一代换处理某些不定积分功效显著 (用它可消去被积函数的分母中的因子, 特别是幂次为偶数的情形)。

【例6】求

解: 令

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最后,我们指出:使用变量替换求不定积分,关键是选择恰当的替换,这需要经验。记往! 不适宜的替换会使问题弄得愈来愈复杂。

 

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