【蓝桥杯】压轴题:晚会节目单(给定长度的字典序最大子序列) RQM算法详解

第十题 晚会节目单

题目
【问题描述】
小明要组织一台晚会，总共准备了 n 个节目。然后晚会的时间有限，他只能最终选择其中的 m 个节目。
这 n 个节目是按照小明设想的顺序给定的，顺序不能改变。
小明发现，观众对于晚会的喜欢程度与前几个节目的好看程度有非常大的关系，他希望选出的第一个节目尽可能好看，在此前提下希望第二个节目尽可能好看，依次类推。
小明给每个节目定义了一个好看值，请你帮助小明选择出 m 个节目，满足他的要求。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m ，表示节目的数量和要选择的数量。
第二行包含 n 个整数，依次为每个节目的好看值。
【输出格式】
输出一行包含 m 个整数，为选出的节目的好看值。
【样例输入】
5 3
3 1 2 5 4
【样例输出】
3 5 4
【样例说明】
选择了第1, 4, 5个节目。
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 100000，0 <= 节目的好看值 <= 100000。

详解

错误思路:想着从n个数据中选择m个最大的,按照原顺序输出
举例:1
10 7
10 56 59 41 69 66 6 76 15 50
如果按照错误想法应该输出:
56 59 41 69 66 76 50
可是正确的应该是:
59 69 66 6 76 15 50
即,希望前几个数尽可能的大,而后面有几个小的也无所谓
所以这个题可以转化成求n个数字的序列中选出m个且字典序最大

思路一: 穷举(不推荐)
m选n个数,如果当前的大于之前的最大的则更新
dfs回溯法,二进制状压法
思路二:
在保障最后有数字可以取的情况下,在当前范围取最大值
时间复杂度:最多选n次,每次最多进对n个数选最大的
如果是线性时间选择O(n)情况时间复杂度大概是n^2
如果用RMQ算法(一种动态规划算法,有点类似于归并排序的思想),先预处理,得出各个范围的最大值,时间复杂度nlogn,然后进行查询时间复杂度是m*O(1)二者相加也是O(nlogn)

RMQ（Range Minimum/Maximum
Query），即区间最值查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理，时间复杂度为O(nlogn)，然后可以在O（1）的时间内处理每次查询。

代码

1.求范围为L的区间上最大值

2.如果下标计算啥的不好推的话,举个例子就看懂了

import java.util.Scanner;

class Main {
	static long st, et;
	static Scanner sc = new Scanner(System.in);
	// 全局变量
	static int n, m;// 节目的数量和要选择的节目数量
	static int[] show;// 界面的好看值
	static int[][] f;// 从第一个元素开始,共2^第二个元素区间的最大值
	static int[] log2;// 对长度取log
	// 方法1范围最大值

	static void RMQ()// 改成存储下标
	{
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			f[i][0] = i;// 边界值
		}
		for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {// 动态规划
			for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) {
				int index1 = f[i][j - 1];
				int index2 = f[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
				f[i][j] = show[index1] >= show[index2] ? index1 : index2;
			}
		}
	}

	// 方法2求以2为底log的对数向下取整
	static void getLog() {
		log2[1] = 0;
		for (int i = 2; i < n; i++) {
			log2[i] = log2[i / 2] + 1;// 这里只是大概,比如说log2 3就是=log 2 2
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		st = System.currentTimeMillis();
		// 程序开始
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		show = new int[n];
		f = new int[n][n];
		log2 = new int[n + 1];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			show[i] = sc.nextInt();
		}
		getLog();
		RMQ();
		//上面是读数据,预处理
		
		int pos = 0;//区间开始位置
		int i, L = 0, mindex = 0, last = n;//L:区间的大小,mindex:当前区间最大值下标,last:候选的元素个数
		for (i = 0; i < m; i++) {//选m次最多
			L = last - (m - i - 1);// 就是比较数的范围(m-i-1)是要留的候补位
			int k = log2[L];//区间大小取对数
			int los = pos + L - 1;//区间结束位置
			int index1 = f[pos][k];//因为k是向下取整的所有1<
			int index2 = f[los - (1 << k) + 1][k];//从开始和接受都选一次
			int max = Math.max(show[index1], show[index2]);//取最大值就好了
			mindex = show[index1] >= show[index2] ? index1 : index2;
			pos = mindex + 1;//下一个区间的开始位置
			last = n - mindex - 1;// 表示剩余还有多少个数据可以挑,候选元素个数
			System.out.println(show[mindex]);
			if(last<=m-i-1) break;//最后刚好够候补
		}
		if(i<m)//后面的不用选了全都是
		{
			for(i=i+1;i<m;i++)
			{
				System.out.println(show[mindex+1]);
				mindex++;
			}
		}
		// 程序结束
		et = System.currentTimeMillis();
		System.out.println();
		System.out.println(et - st + "ms");//输出用时
	}
}