蓝桥杯Python赛道备赛——Day7：动态规划（基础）

   本博客就蓝桥杯中所涉及的动态规划基础问题进行讲解，包括：递推、记忆化搜索、最长公共子序列（LCS）和最长上升子序列（LIS）。

   每一种动态规划问题都在给出定义的同时，给出了其求解方法的示例代码，以供低年级师弟师妹们学习和练习。

   前序知识：
（1）Python基础语法

---

一、递推（迭代法）

1. 定义：通过已知子问题的解逐步推导出更大问题的解，避免重复计算。

2. 适用问题：具有明确递推公式的问题（如斐波那契数列）。

3. 算法原理：

   • 确定基础情况
   • 建立状态转移方程
   • 自底向上迭代计算

4. 示例代码：

# 递推
# 实现斐波那契数列
def fib(n):
    dp = [0] * (n+1)  # 创建一个数组，大小为n+1
    dp[1] = 1  # 初始条件，第一个斐波那契数为1
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]  # 当前的数等于前两个数之和
    return dp[n]  # 返回第n个斐波那契数

# 测试
print(fib(10))  # 输出第10个斐波那契数

二、记忆化搜索（递归+缓存）

1. 定义：通过缓存已计算结果优化递归算法。

2. 适用问题：递归结构清晰但存在重复计算的问题。

3. 算法原理：

   • 创建缓存字典
   • 递归前先查询缓存
   • 计算结果存入缓存

4. 示例代码：

# 记忆化搜索
# 实现斐波那契数列
def memo_fib(n, memo={}):
    # 基础情况处理
    if n <= 1:
        return n
    
    # 检查是否已计算过
    if n not in memo:
        # 递归计算并存储结果
        memo[n] = memo_fib(n-1, memo) + memo_fib(n-2, memo)
    
    return memo[n]

# 测试：获取第10个斐波那契数
print(memo_fib(10))  # 输出：55

三、最长公共子序列（LCS）

1. 定义：两个序列共有的最长子序列（不要求连续）。

2. 适用问题：DNA比对、文本相似度分析。

3. 算法原理：
   （1）创建二维DP表。
   （2）状态转移方程：
            - 当字符相等：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            - 当字符不等：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

4. 示例代码：

# 最长公共子序列
def lcs(text1, text2):
    m, n = len(text1), len(text2)
    
    # 创建(m+1)x(n+1)的DP表（包含空字符串情况）
    dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
    
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if text1[i-1] == text2[j-1]:  # 字符匹配的情况
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:  # 字符不匹配的情况
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[m][n]

# 测试用例
text_a = "ABCBDAB"
text_b = "BDCAB"
print(lcs(text_a, text_b))  # 输出：4（对应"BCAB"或"BDAB"）

四、最长上升子序列（LIS）

1. 定义：序列中数值严格递增的最长子序列。

2. 适用问题：股票趋势分析、课程安排。

3. 算法原理：
   （1）维护每个位置的最长上升序列长度。
   （2）状态转移方程：
            dp[i] = max(dp[j]+1) 当nums[j] < nums[i]（j < i）

4. 示例代码：

# 最长递增子序列
def length_of_lis(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    n = len(nums)
    dp = [1] * n  # 每个元素自身构成长度为1的序列
    
    for i in range(n):
        # 检查前面所有可能形成上升序列的位置
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    
    return max(dp)

# 测试用例
nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
print(length_of_lis(nums))  # 输出：4（对应[2,5,7,101]）