图形学数学基础之Hammersley采样

作者：i_dovelemon
日期：2017/08/02
来源：CSDN
主题：hammersley，binary

引言

在图形学里面，用到了很多的采样算法。特别当你在写一个光线追踪器的时候，会使用大量的采样算法来对BRDF，光源等进行采样。这些采样操作，一般是先通过创建一个具有均匀分布的2D随机点集合，然后通过变换，将这些2D随机点变换到具体的采样数据上去，如BRDF的方向等等。关于这部分变换和相应的原理，后面会有相应的章节来讲解，今天我们先来了解一个在实现PBR中，经常被使用到的均匀分布的2D随机采样方式–Hammersley采样。

Hammersley采样

Hammersley采样，听上去好像很深奥的样子，实际上是一个十分简单的操作。

我们知道，在计算机里面大量使用了二进制来表示数据，如下表所示的一些十进制与二进制的对应关系：

十进制	二进制
1	1
2	10
3	11
4	100

而Hammersley采样就是利用计算机使用二进制表示的特性，来构造均匀分布的2D随机采样点。它是通过对一个二进制数进行Radical Inverse方法，来构造出一个值来实现的。它的过程如下表：

十进制	二进制	Radical Inverse	值
1	1	.1 = 1 * 1/2	0.5
2	10	.01 = 0 * 1/2 + 1 * 1/4	0.25
3	11	.11 = 1 * 1/2 + 1 * 1/4	0.75
4	100	.001 = 0 * 1/2 + 0 * 1/4 + 1 * 1/8	0.125

从上表可以看到，Radical Inverse方法，就是简单的将给定的十进制数的二进制表示方法，反过来放在小数点之后，构造一个在[0,1]之间的值。

在明白了Radical Inverse方法之后，我们就可以构造hammersley的2D随机分布的采样点集合，如下所示：

pi=(xi,yi)=(i/N,ϕ(i))

其中N表示的是一共有多少个采样点， ϕ(i) 就是对 i 进行Radical Inverse之后的值。

在我的 raytracer项目中，使用了hammersley采样，有相关的代码可供参考，如下所示：

class HammersleySampler(Sampler):
    def __init__(self):
        super().__init__(Sampler.MULTIJITTERED)

    def radicalInverseBase2(self, v):
        x = 0.0
        f = 0.5
        v = int(v)
        while v != 0:
            x += f * (v & 1)
            v = math.floor(v / 2)
            f *= 0.5
        return x

    def genSamplersInUnitSqure(self, num):
        self.samplers = []
        for i in range(num):
            x = i * 1.0 / num
            y = self.radicalInverseBase2(i)
            self.samplers.append(Vector2(x, y))

同时该raytracer的测试例子，能够得到如下一张图，显示了hammersley是均匀分布的：


为了方便，这里同时给出GLSL的代码，便于大家参考：

float RadicalInverse(uint bits) {
    bits = (bits << 16u) | (bits >> 16u);
    bits = ((bits & 0x55555555u) << 1u) | ((bits & 0xAAAAAAAAu) >> 1u);
    bits = ((bits & 0x33333333u) << 2u) | ((bits & 0xCCCCCCCCu) >> 2u);
    bits = ((bits & 0x0F0F0F0Fu) << 4u) | ((bits & 0xF0F0F0F0u) >> 4u);
    bits = ((bits & 0x00FF00FFu) << 8u) | ((bits & 0xFF00FF00u) >> 8u);
    return float(bits) * 2.3283064365386963e-10f;
}

vec2 Hammersley(uint i, uint N) {
    return vec2(float(i) / float(N), RadicalInverse(i));
}

总结

图形学的世界非常的奇妙，采样的理论非常美丽，后面会陆陆续续和大家介绍更多的相关内容。

参考文献

[1] Ray Tracing From Ground Up